Hola, estimado Rincón
Luis, es cierto:
Esto es simplemente un ejemplo de un sucesión de funciones integrables, cuyo límite NO es integrable. Nada (o poco) que ver con la continuidad.
Una cosa es analizar si la función límite de una sucesión de funciones hereda alguna características de las funciones de la sucesión, como por ejemplo la continuidad, (tal y como explica Juan Pablo Sancho), y otra cosa es afirmar que la propia sucesión de funciones, como tal, es "continua", ya que esto último creo que no está definido, (...) pero eso ya implicaría entrar en el Análisis Funcional.
Perfecto.
Es que cuando se habla de una sucesión de funciones, como la del ejemplo que has puesto, se está hablando de una aplicación
\( \begin{array}{rcl}\mathbb{N}&\longrightarrow &\mathbb{R}^T\\n&\mapsto & f_n\end{array} \), donde \( \mathbb{R}^T=\{g:T\longrightarrow\mathbb{R}\} \) es el espacio de funciones de \( T=[0,1]\subseteq \mathbb{R} \) en \( \mathbb{R} \) y \( f_n:T\longrightarrow \mathbb{R} \)
Un espacio funcional es un conjunto de funciones de un conjunto \( X \) a un conjunto \( Y \), de una clase dada. Se llama espacio porque en la mayoría de las aplicaciones, es un espacio topológico o un espacio vectorial.
Duda: en este caso, ¿espacio de funciones es un espacio topológico?
Espacio topológicoSi \( X \) es un conjunto no vacío, se llama
topología en \( X \) a cualquier colección \( T \) de subconjuntos de \( X \) que satisface los axiomas:
(1) \( \emptyset,\,X\in{T} \).
(2) Si \( A \) y \( B \) son elementos de \( T \), entonces \( A\cap{B}\in{T} \)
(3) Si \( \{A_{i}\,:\,i\in{I}\} \) es una familia de elementos de \( T \), entonces \( \bigcup_{i\in{I}}A_{i}\in{T} \).
A los elementos de \( T \) se les llama
conjuntos abiertos y al par \( (X,T) \),
espacio topológico.
Un conjunto abierto, en topología y otras ramas de las matemáticas, es un conjunto en el que cada uno de sus elementos tiene un entorno que está incluído en el mismo conjunto; o, dicho de una manera más intuitiva, que ningún elemento de dicho conjunto pertenece también a la frontera de este.
Ejemplo: la circunferencia azul representa el conjunto de puntos \( (x,y) \) que satisfacen \( x^2+y^2=r^2 \). El disco rojo representa el conjunto de puntos \( (x,y) \) que satisfacen \( x^2+y^2<r^2 \). El conjunto rojo es un conjunto abierto, el conjunto azúl es su conjunto de límites, y la unión de los conjuntos rojo y azul es un conjunto cerrado.
Pero es un problema típico de herencia en los límites , que en algunos casos es buena y es lo que se busca.
El límite no tiene por que heredar una propiedad de los elementos de la sucesión.
Tienes la sucesión de funciones \( f_n \) definida por:
\( f(x) = 1 \) si \( x \in A_n \) y \( f(x) = 0 \) si \( x \in [0,1]\setminus A_n \) donde \( A_n = \{q_1 , q_2 , q_3 , \cdots ,q_n\} \) y \( A = \bigcup_{n=1}^{+\infty} A_n \) son todos los racionales en \( [0,1] \).
Entonces para todo \( n \in \mathbb{N} \) tenemos que \( f_n \) es integrable y \( \displaystyle \int_0^1 f_n \ dx = 0 \) pero \( \displaystyle f = \lim_{n \to +\infty} f_n \) no es integrable.
Entiendo lo que he subrayado, por analogía con los ejemplos
Tienes la sucesión \( \{\dfrac{1}{n}\}_{n=1}^{+\infty} \) entonces para todo \( n \in \mathbb{N} \) obtienes \( \dfrac{1}{n} > 0 \) pero su límite es cero, no positivo.
Tienes la sucesión:
\( a_1 = 1 \) y para \( n \geq 2 \) tienes la expresión \( a_n = \dfrac{1}{2} \cdot (a_{n-1} + \dfrac{2}{a_{n-1}}) \) entonces para todo \( n \in \mathbb{N} \) obtienes que \( a_n \) es racional, pero su límite es irracional.
Tienes la sucesión de funciones \( f_n \) definida por:
\( f(x) = 1 \) si \( x \in A_n \) y \( f(x) = 0 \) si \( x \in [0,1]\setminus A_n \) donde \( A_n = \{q_1 , q_2 , q_3 , \cdots ,q_n\} \) y \( A = \bigcup_{n=1}^{+\infty} A_n \) son todos los racionales en \( [0,1] \).
Ahí voy:
- Creo que la cita anterior se refiere a una sucesión de dos funciones,
\( a_n=\begin{cases}{f(x) = 1}&\text{si}& x \in A_n\\f(x) = 0 & \text{si}& x \in [0,1]\setminus A_n\end{cases} \)
Entonces para todo \( n \in \mathbb{N} \) tenemos que \( f_n \) es integrable y \( \displaystyle \int_0^1 f_n \ dx = 0 \) pero \( \displaystyle f = \lim_{n \to +\infty} f_n \) no es integrable.
- \( A_n \) creo que es un conjunto de números racionales, pero, el subíndice \( n \), ¿quiere decir que \( n\in{\mathbb{N}} \)? Es decir, ¿\( A_n\subseteq{\mathbb{N}} \)?
\( A \), ¿son todos los racionales en \( \mathbb{R} \)?
- La gran duda: ¿por qué si \( f_n \) es integrable, pero no lo es \( \displaystyle f = \lim_{n \to\infty} f_n \), no podemos hablar de continuidad de una colección de funciones?. Esto creo entenderlo por analogía de nuevo, esta vez con la continuidad de las funciones reales de una variable en un punto \( a \), por ejemplo:
\( f(a)=\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)} \)
Finalmente, ¿por qué \( \displaystyle f = \lim_{n \to\infty} f_n \) no es integrable?
Intento replicante de una web angloparlante
Supongamos que \( f_n \) y \( \displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_n \) son integrables y \( f_{n}\xrightarrow{\text{uniform}}f \) en \( [a,b] \). Entonces
\( \displaystyle\lim_{n\to\infty}{\displaystyle\int_{x=a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\displaystyle\int_{x=a}^{b}f(x)\,dx} \)
.
Voy a publicar, pero sigue siendo un borrador, una especie de tormenta de ideas, para mostrar por dónde me estoy orientando en estos momentos.
¡Un saludo!
