¿Hay algún estudio o registro que muestre la tendencia de la cantidad de pares de números primos que sumados dan cada número par ?.
Digamos que si la tendencia es que si aumenta el número de pares de primos que sumados dan un número par, a medida que el número par crece, entonces encontrar un número par sin sumando primos se volverá cada vez mas improbable, aunque no se pueda justificar la inexistencia.


Me explico,  el $$n=14$$ se puede obtener como $$3+11=1+13=7+7=14$$   de $$m=3$$ maneras diferentes,  pregunto si hay una gráfica de ese resultado $$m=f(n)$$ para cada número par, que muestre algún tipo de tendencia, o que refleje siempre una constante, o es totalmente aleatorio e imprevisible. 


Gracias.

Hola , tengo una duda voy a exponerla de a poco.


Si quiero mapear cualquier punto de la recta de los reales usando como  base cualquier real no nulo, puedo hacerlo con la combinación lineal multiplicando por un coeficiente que es otro elemento perteneciente a los reales.


Ejemplo , mi base  es $$x=\{1.258\}$$  y puedo representar cualquier $$z\in\mathbb R$$  como $$z=a_1\cdot x$$  cuando $$a_1\in\mathbb R$$  esto me da que la base de x tiene dimensión 1 para mapear cualquier real puedo que siempre tendremos un $$a_1=\dfrac{z}{x}$$ .... Disculpen si no soy riguroso  no sé como serlo mas.


Pero bien, ahora viene la duda.... si porque se me antojara cualquier $$a_i$$ de la base que resulte lo condiciono a  $$a_i\in\mathbb Q$$ sea un racional cual es el tamaño de la base que mapea todos los reales?


Es decir $$\forall z\in \mathbb R$$ existe la forma de calcularlo como $$z =\sum\limits_{i=1}^n a_i\cdot x_i  \quad//\quad a_i\in\mathbb Q \quad//\quad x_i \in \mathbb R $$  cuanto el mínimo  valor de $$n$$  o bien la dimensión de esa base, o es acaso n es infinito como llego a suponer...


Espero haberme explicado ...


Lo digo de otro modo por las dudas teniendo una base de números reales, cualquiera,  es posible hacer una combinación lineal de ellos usando solo  coeficientes racionales, para obtener cualquier otro número real?


Mi lio para comprenderlo pasa por entender que el cociente de dos reales no necesariamente puede dar un numero racional.


Gracias anticipadas
Saludos

Una de las posibles formas de demostrar la conjetura  es probar que el único ciclo que existe es el 1421, que no hay mas que ese.


Usando fórmulas para el ciclo mas sencillo llegué a que la base del ciclo, el menor número o mínimo que llamo \( x \) , se puede calcular con la ecuación


\( x=\dfrac{3^n-2^n}{2^{n+m}-3^n} \)


donde \( n \) es la cantidad de veces que sube el ciclo (resultado impar luego de la primera división por 2) \( n\geq 1 \)
 y \( m \) es la cantidad de veces que baja menos 1 (que esta incluida al final del ascenso) \( m\geq 1 \)




Con esto en mente, compruebo que \( n=1 \) y \( m=1 \)  verifica y da por resultado \( x=1 \) que será el origen del ciclo 1421, bien por ahora


Pero es claro que de encontrar otro par \( (n,m)\ |n, m \in \mathbb N \)  de números enteros que cumpla esta ecuación y devuelva otro entero \( x\neq 1\ |x\in \mathbb N \), daría una solución a la conjetura, y de demostrarse que no existe tal entero, no significa nada ya que no es la única forma de obtener un ciclo.


La pregunta es que herramientas se pueden usar para determinar si existe ese otro entero o no para este caso puntual o para cada caso puntual.


Solo puedo tener soluciones resolviendo con ecuaciones diofánticas, a tientas para cada n y m?




Gracias

Hola, hay una pregunta que me ronda hace tiempo, y que leyendo https://www.ugr.es/~jlbueso/euclides/1/defs.html a raiz del hilo https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=121814.msg491713;topicseen#msg491713 de lo que cito

• Definición 25. Un cubo es la figura sólida comprendida por seis cuadrados iguales.
• Definición 26. Un octaedro es una figura sólida comprendida por ocho triángulos iguales y equiláteros.
• Definición 27. Un icosaedro es la figura sólida comprendida por viente triángulos iguales y equiláteros.
• Definición 28. Un dodecaedro es la figura sólida comprendida por doce pentágonos iguales equiláteros y equiángulos.

Me pregunto si para cada figura geométrica regular de \( n\geq3 \) lados existe un poliedro que contiene \( x \) cantidad caras con esa figura, y en dicho caso si existe una fórmula general para calcular \( x \) en función de \( n \)...


Gracias por adelantado.

Hola a todos , como parte de mis pasatiempos, he intentado varias formas de hallar un número perfecto impar, sin éxito.. claro.


He pasado por la wikipedia refrescando memoria y leo la siguiente cita

El 7 de diciembre de 2018, al descubrirse el número primo más grande \( 2^{82 589 933} − 1 \) ( o M82 589 933 en la notación usual), se obtuvo entonces el mayor número perfecto encontrado hasta esa fecha, número 51 de la lista, con 49.724.095 dígitos:
\( 2^{82 589 932} (2^{82 589 933} − 1) \)
 

Se me ha ocurrido una nueva forma alternativa para intentar suerte, programando con criterio y no tanto fuerza bruta, entonces...


La pregunta es sencilla, existirá registro que por debajo de ese número no existe ningún otro número perfecto, sea este par o impar?


Me da la sensación que solo se probaron números  con el  Teorema de Euclides-Euler. Es decir solo se buscaron los primos de Mersene y se aplicó el teorema, no me queda claro si  se descartaron los \( 2^{82 589 933}-51 \) números restantes...

Hay algún trabajo sobre esa serie  AES..... no se que número es...

La idea nuevamente es no sembrar sobre suelo estéril.

Gracias de antemano.

La ecuación \( y^3-x^2=\pm2 \) tiene forma algebraica, (algún pase de términos) que revele que la única solución en los naturales es \( y=3 \) y  \( x=5 \) o que de alguna forma para números mayores es imposible tener solución?


Mi método programado en Phyton  ha llegado de momento a \( y=13355 \) y \( x=1543220 \) sin resultados extra, en minutos, pero la idea es continuar ejecutando a menos que sea absurdo hacerlo porque ya se sabe que no hallaré nada.

Con los subsistemas subterráneos de su submarino que subsisten de manera subóptima , la única forma de salir de esta cueva pronto es encontrando un camino usted mismo. No solo un camino: la única forma de saber si ha encontrado el mejor camino es encontrarlos todos .

Afortunadamente, los sensores todavía funcionan en su mayor parte, por lo que construye un mapa aproximado de las cuevas restantes (su entrada de rompecabezas). Por ejemplo:

start-A
start-b
A-c
A-b
b-d
A-end
b-end

Esta es una lista de cómo están conectadas todas las cuevas. Empiezas en la cueva nombrada start y tu destino es la cueva nombrada end. Una entrada como b-d significa que la cueva b está conectada a la cueva d, es decir, puede moverse entre ellas.

Entonces, el sistema de cuevas anterior se ve más o menos así:

      start
     /      \
c--A-----b--d
     \      /
      end

Su objetivo es encontrar la cantidad de caminos distintos que comienzan en start, terminan en end y no visitan pequeñas cuevas más de una vez. Hay dos tipos de cuevas: cuevas grandes (escritas en mayúsculas, como A) y cuevas pequeñas (escritas en minúsculas, como b). Sería una pérdida de tiempo visitar una cueva pequeña más de una vez, pero las cuevas grandes son lo suficientemente grandes como para que valga la pena visitarlas varias veces. Por lo tanto, todos los caminos que encuentres deben visitar cuevas pequeñas como máximo una vez , y puedes visitar cuevas grandes tantas veces como quieras .

Dadas estas reglas, hay 10caminos a través de este ejemplo de sistema de cuevas:

start,A,b,A,c,A,end
start,A,b,A,end
start,A,b,end
start,A,c,A,b,A,end
start,A,c,A,b,end
start,A,c,A,end
start,A,end
start,b,A,c,A,end
start,b,A,end
start,b,end

(Cada línea en la lista anterior corresponde a un solo camino; las cuevas visitadas por ese camino se enumeran en el orden en que fueron visitadas y separadas por comas).

Tenga en cuenta que en este sistema de cuevas, la cueva d nunca es visitada por ningún camino: para hacerlo, la cueva b debería ser visitada dos veces (una en el camino a la cueva d y una segunda vez al regresar de la cueva d), y dado que la cueva bes pequeña, esto No se permite.

Aquí hay un ejemplo un poco más grande:

dc-end
HN-start
start-kj
dc-start
dc-HN
LN-dc
HN-end
kj-sa
kj-HN
kj-dc

Los 19 caminos a través de él son los siguientes:

start,HN,dc,HN,end
start,HN,dc,HN,kj,HN,end
start,HN,dc,end
start,HN,dc,kj,HN,end
start,HN,end
start,HN,kj,HN,dc,HN,end
start,HN,kj,HN,dc,end
start,HN,kj,HN,end
start,HN,kj,dc,HN,end
start,HN,kj,dc,end
start,dc,HN,end
start,dc,HN,kj,HN,end
start,dc,end
start,dc,kj,HN,end
start,kj,HN,dc,HN,end
start,kj,HN,dc,end
start,kj,HN,end
start,kj,dc,HN,end
start,kj,dc,end

Finalmente, este ejemplo aún más grande tiene 226caminos a través de él:

fs-end
he-DX
fs-he
start-DX
pj-DX
end-zg
zg-sl
zg-pj
pj-he
RW-he
fs-DX
pj-RW
zg-RW
start-pj
he-WI
zg-he
pj-fs
start-RW

¿Cuántos caminos a través de este sistema de cuevas hay que visitan pequeñas cuevas como máximo una vez?

Que se diviertan !!!

Saludos

Habrá tenido mejor suerte esta gente


https://www.lavoz.com.ar/ciudadanos/un-famoso-enigma-matematico-de-150-anos-tiene-solucion-fisica/?outputType=amp

No veo ningún link al artículo o paper publicado así que no se si es click bait...


Pero si el tema tiene tela para cortar espero algún comentario en este u otro hilo.

Hola, como va , estoy interesado en que me indiquen alguna vía de resolución  para el siguiente problema

en un problema de física tengo un ratio

\( \dfrac{r_2}{r_1}=x \)  donde el valor de \( x \) no es importante en primera medida

pero si lo que es importante es la subdivisión de ese ratio

\( k=\sqrt[n]{x} \)      ec1

digamos que voy a partir algo en \( n \) trozos pero cada trozo es más grande que en el anterior en una tasa k

así defino variables que son

\( a_i=\dfrac{1+k}{2}k^{i-1} \)

\( r_i=k^{i-1} \)

lo que me interesa calcular o ver es cómo varia un sumatorio en función de como cambia \( n \), el exponente del radicando de la ecuación 1 , que a la vez incrementa el número de términos intermedios del sumatorio.

el sumatorio tiene  dos términos (el inicial y el final) especiales y distintos a los que son iterativos de los que se puede usar una fórmula de recurrencia.


\( \displaystyle F= \left |\sqrt{\frac 2{r_1}-\dfrac{1}{a_1}}-\sqrt{\dfrac{1}{r_1}}\right |+\sum\limits_2^{n-1}  \left |\sqrt{\frac 2{r_i}-\dfrac{1}{a_i}}-\sqrt{\frac 2{r_i}-\dfrac{k}{a_i}}\right |+\left |\sqrt{\frac 2{r_2}-\dfrac{1}{a_n}}-\sqrt{\dfrac{k}{r_2}}\right | \)


busco  el limite de F cuando \( n \) se vuelve grande \( 1000<n<1000000 \), no necesariamente infinito, me interesa saber si puedo hallar un tipo de asíntota o convergencia que salga matemáticamente, porque por programación  numéricamente lo he hecho y hay un límite a la precisión, no me convenzo de lo que obtengo.

Gracias por su atención y anticipadas por cualquier tipo de colaboración.

Una misión  espacial sobre un cohete.

La idea de esta y las siguientes entradas relacionadas es brindar los fundamentos básicos físicos,un compendio de información de diversas fuentes, para entender la complejidad matemática de la modelización y cálculo de trayectorias de vehículos impulsados por motor cohete. No voy a entrar en el diseño de los motores sino que daré por descontado que podríamos disponer de los datos básicos experimentales   como masa, volumen,  potencia, consumos, velocidad media de los gases expulsados etc, para cada ejemplo propuesto.

1)    El modelo sencillo: un sistema de masa variable.

Cuando  queremos describir el movimiento de los cohetes por medio de la mecánica Newtoniana, lo hacemos  en primera medida  por medio  de un '''sistema de masa variable'''.

Un sistema de masa variable , justamente es aquel en el que la masa total  del conjunto de materiales que lo componen  varía con el tiempo. los cohetes pierden una cantidad significativa de masa a medida que queman el combustible, son por supuesto un sistema de masa variable.En estos modelos la segunda ley de Newton \(   \sum F= m a  \)  no se puede aplicar directamente dado que sólo es válida para sistemas de masa constante, por lo tanto, la dependencia de la masa  \( m \) respecto del tiempo \( t \), se puede calcular reescribiendo la segunda ley de Newton añadiendo un término que considera el momento lineal de la  masa que entra o sale del sistema.
Entonces, la ecuación general de movimiento de una masa variable, puede escribirse como:

\(   \vec F_{ext} + \vec v_{rel}\dfrac{d M}{dt} = M \dfrac{d \vec v }{ dt} \)

Donde \( \vec F_ {ext} \) es la fuerza neta externa ejercida en el cuerpo, \( v_{rel} \) es la velocidad relativa de la masa que está escapando (combustible mas comburentes quemados) también llamada  velocidad efectiva de escape  y  denominada como \( v_e \) y por último  \( v \)  es la velocidad del cuerpo del cohete  en un sistema de referencia inercial.Antes de que surja la controversia hay que aclarar que  un sistema de masa variable “no” puede describirse como la derivada respecto del tiempo del producto de la masa con la velocidad, Por dos razones el sistema no es cerrado: como el del cohete que pierde combustible y eyecta gases a distintas velocidades en el  sistema de referencia, no se puede tratar a la masa como una variable en función del tiempo. La fuerza es el cambio en el momento lineal respecto del tiempo. Pero si bien la fuerza sigue siendo el cambio de momento lineal, el momento ya no puede describirse como el producto de masa con la velocidad, sino que se agrega un término nuevo , resultando que se no respeta la invariancia galileana la cual sostiene que un objeto de masa variable con \(   F=0  \) en un marco de referencia inercial, tendrá \(   F\neq 0  \) en otro. Así que  no es correcta derivar expresiones a partir de

\( \cancel{\vec F_{net}= \dfrac{d}{dt}\big [ M_{(t)}\vec v_{(t)}\big ] = M_{(t)} \dfrac{d\ vec v}{dt} + \vec v_{(t)} \dfrac{dM}{dt}} \)

Voy a tratar de  obtener y resolver la ecuación de movimiento de un cohete considerando las ´ fuerzas externas que actúan sobre  él  la función obtenida será dependiente de la variable tiempo. Para estos sistemas tenemos que partir de la forma más general posible de la segunda ley de newton, permitiendo que actue una fuerza externa  \(    \vec F_ { ext} \) en el sistema. Esta fuerza no es la fuerza que impulsa al cohete (la cual es una fuerza interna para el sistema ), si no es mas bien la fuerza producida de ´ algún agente externo al sistema, que pueden ser la fuerza de ´ gravedad que ejerce la tierra o el rozamiento con el aire. Entonces la segunda ley puede expresarse como:

\(    \vec F_ { ext} = \lim\limits_{ \Delta t \to 0} \dfrac{\Delta P}{\Delta t} \)

Hagamos la siguiente consideración el cohete esta en el espacio ingrávido, se cumple la primera ley de Newton que dado un determinado marco de referencia el cohete puede estar en reposo o moverse en MRU a velocidad constante.  Así la cantidad de movimiento inicial del cohete es \(  p_i=Mv_i   \)
Luego  En el intervalo de tiempo \(  \Delta t   \), ocurrirá  un cambio del momento lineal \(  \Delta P   \)
Sabemos que un instante de tiempo posterior \(  \Delta t   \), la masa que originalmente había M ha arrojado cierta cantidad de masa \( - \Delta M   \). La masa restante \(  M +\Delta M  \),  se mueve ahora con una velocidad \(    v + \Delta \vec v \).

Como \(  \Delta P = \vec p_f – \vec p_i \) . Donde  \(  \vec p_f  \)es el momento final del sistema , en el instante de tiempo \( t + \Delta t  \), y \( p_i \) el momento inicial en el instante  \( t \), entonces

\(  \vec p_f = (M + \Delta M)( \vec v + \Delta \vec v) + (−\Delta M) \vec u  \),

El cambio del momento es
\( \Delta \vec P = (M + \Delta M)( \vec v + \Delta \vec v) + (−\Delta M) \vec u − M\vec v \).

Sustituyendo la expresión  del  cambio del momento en la ´primer ecuación, obtenemos

\( \sum \vec F_ {ext}=\lim\limits_{\Delta t \to 0} M \dfrac{\Delta \vec v }{\Delta t} + \vec v\dfrac{\Delta M}{\Delta t} + \overbrace{\Delta \vec v \dfrac{\Delta M}{ \Delta t}}^{=0} – \vec u\dfrac{\Delta M }{\Delta t} \)

De lo que se obtiene:

\( \sum  \vec F_ {ext} = M \dfrac{d\vec v}{ dt} + (\vec v –\vec u) \dfrac{dM}{ dt} \)

podemos identificar que el primer término \( d\vec v/dt \) es la aceleración del sistema  cuando empieza a perder masa a una velocidad \( \vec u \) a una tasa de \( |dM /dt| \)
Para ver si en verdad la expresión es la versión mas general de la segunda ley de Newton, basta con identificar algunos términos y ponerlos como la derivada del producto de las funciones de v y M.
Para así obtener:
\( \vec F_{ext}= \dfrac{d (M\vec v)}{dt} −\vec u\dfrac{dM}{ dt}  \)

Llamando velocidad relativa de  los gases  respecto al cohete a
\( \vec  u_{rel}= \vec v- \vec u \)

Así que podemos escribir la ecuación como:
\( \vec  F_{ext} = M \dfrac{d\vec v}{ dt} + \vec  u_{rel} \dfrac{dM}{ dt} \) .
Cuando el cohete esta en el espacio ingrávido la sumatoria de fuerzas exteriores al sistema es nula \( \vec  F_{ext}=\vec 0  \)
Por lo que trabajando con modulos ahora
\( 0 = M \dfrac{d v}{ dt} +   u_{rel} \dfrac{dM}{ dt} \)

Luego \( M \dfrac{d v}{ dt} =-   u_{rel} \dfrac{dM}{ dt} \)

\(  \dfrac{d v}{ dt} =-   u_{rel} \dfrac{dM}{ M dt} \)

Si sabemos que M es en todo momento \( M=M_o-Ct \) donde \( C \) es el consumo de másico de combustible mas comburente del cohete.
Entonces

\( \dfrac{dM}{dt}=-C \)

\( \displaystyle \int_{v}^{v_o} d v=-   u_{rel}\int_{Mo}^{M} \dfrac{dM}{ M } \)

\( v-v_o=-u_{rel}\ln\left|1-\dfrac{C}{M}t\right|  \)

Así tenemos la velocidad en función el tiempo , de modo similar obtenida a la ecuación del cohete de Tsiolkovski 

Si queremos saber la posición entonces hacemos \( v=\dfrac{dy}{dt} \) y volvemos a integrar

\( y(t)=y_o+(v_o+u_r)t+u_r\dfrac{M_o-Ct}{C}\ln{\left|1-\dfrac{C}{M}t \right |} \)


Dejo para los interesados Probar la veracidad de las ecuaciones o mejorar la deducción aclarando los pasos intermedios.

Próximos temas


1.    El modelo sencillo: un sistema de masa variable.   

2.     Un modelo con gravedad 
3.     Un modelo con fricción.   
4.     Un modelo con gravedad variable   
5.     Un modelo con fricción variable, aerodinamía.   
6.     Argumentos para optimizar.   
7.     Ventanas de lanzamiento,fuerzas ficticias, navegación   
8.     Orbitas, definiciones, estimación, formulación.   
9.     Leyes de conservación, que se conserva y que no.   
10.   Consumo energético para el cambio de orbitas   
11.   Orbitas de transferencia   
12.   Sistema Tierra Luna , problema de los dos cuerpos.   
13.   Puntos de Lagrange de un sistema binario de tres cuerpos   
14.   Asistencia gravitatoria
15.   Reentrada atmosférica.
16.   Una pincelada relativista

Pd No se porque es tan dificil y cambiante el formateo del texto escrito en RM. quitar esos [size] que aparecen por doquier [/size]