[Ricardo Boza]

Hola,

¿Podéis darme un ejemplo de función continua, biyectiva y cuya inversa no sea continua?

Gracias,

Saludos.

[Masacroso]

Hola,

¿Podéis darme un ejemplo de función continua, biyectiva y cuya inversa no sea continua?

Gracias,

Saludos.

La función \( f:[0,2\pi)\to S^1,\, t\mapsto (\cos t,\sin t) \) para \( S^1:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2=1\} \) es continua y biyectiva, sin embargo su inversa no es continua en el punto \( (1,0) \) ya que acercándonos a tal punto por puntos por debajo del eje de abscisas el límite es \( 2\pi \), y si nos acercamos por arriba el límite es cero.

Otra forma más sencillo de verlo es observar que \( S^1 \) es compacto pero \( [0,2\pi) \) no lo es, por tanto \( f^{-1} \) no puede ser continua.

[Gustavo]

Hola. Para complementar la respuesta de Masacroso con dos casos distintos:

i) Si tomas \( f:X\to X \) como la identidad, con la topología del espacio de salida siendo la discreta y la de llegada cualquier otra, entonces tienes un ejemplo de una función continua, biyectiva con inversa no continua.

ii) Si \( X \) e \( Y \) son variedades (topológicas) y tienes una biyección continua \( f:X\to Y \), entonces necesariamente \( f^{-1}  \) es continua. Esto es consecuencia del teorema de la invarianza del dominio.