Hello, an a way is:

How \( f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \), and \( |f(x)|\leq1
 \) for all \( x\in[-1,1] \) Then:


\( \left |{d}\right |=\left |{f(0)}\right |\leq{1} \)

\( \left |{b}\right |=\frac{1}{2}\left |{f(1)+f(-1)-2f(0)}\right |\leq\frac{1}{2}|f(1)|+\frac{1}{2}|f(-1)|+|f(0)|\leq\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2 \)

\( \left |{a}\right |=\frac{2}{3}\left |{f(1)-f(-1)-2f(1/2)+2f(-1/2)}\right |\leq\frac{2}{3}|f(1)|+\frac{2}{3}|f(-1)|+\frac{4}{3}|f(1/2)|+\frac{4}{3}|f(-1/2)|\leq\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=4 \)

\( \left |{c}\right |=\frac{1}{6}\left |{8f(1/2)-8f(-1/2)-f(1)+f(-1)}\right |\leq\frac{4}{3}|f(1/2)|+\frac{4}{3}|f(-1/2)|+\frac{1}{6}|f(1)|+\frac{1}{6}|f(-1)|\leq\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=3 \)

Therefore:


PD: 10 is a upper bound, buth not is the maximun, see the aswers of Luis and Martiniano

Hello I assumed that
\( \displaystyle I_{k}=\int^{2}_{1}e^{x-1}x^{-k}dx. \)
Then
\( \displaystyle I_{k-1}=\int^{2}_{1}e^{x-1}x^{-k+1}dx \)
by parts, with \( u=x^{-k+1} \) and \( dv=e^{x-1}dx \):
\( \displaystyle I_{k-1}=2^{-k+1}e-1+k\int_1^2e^{x-1}x^{-k}dx-\int_1^2e^{x-1}x^{-k}dx \)
\( kI_k=I_{k-1}+I_k+1-2^{-k+1}e \)

then:
\( 1-kI_k=2^{-k+1}e-I_{k-1}-I_k \)

\( \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\bigg(1-kI_{k}\bigg)=\displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\bigg(2^{-k+1}e-(I_{k-1}+I_k)\bigg) \)

If \( a_k=2^{-k+1}e \) and \( b_k=-(I_{k-1}+I_k) \)

note that \( \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}a_k=\displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\bigg(2^{-k+1}e\bigg)=4e \) this series converges

now
\( \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}b_k=\displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\bigg[-(I_{k-1}+I_k)\bigg]=\displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\bigg[-\int^{2}_{1}e^{x-1}x^{-k}(x+1)dx\bigg] \)

\( \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\bigg[-\int^{2}_{1}e^{x-1}x^{-k}(x+1)dx\bigg]=-\int^{2}_{1}e^{x-1}(x+1)\sum^{\infty}_{k=0}(x^{-k})dx=-\int^{2}_{1}e^{x-1}(x+1)\frac{x}{x-1}dx \)

How \( \frac{x}{x-1}\leq e^{x-1}(x+1)\frac{x}{x-1} \) and \( \int^{2}_{1}\frac{x}{x-1}dx \) diverges then \( \int^{2}_{1}e^{x-1}(x+1)\frac{x}{x-1}dx  \) also diverges

then \( \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}b_k \) diverges

therefore \( \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\bigg(a_k+b_k\bigg)=\sum^{\infty}_{k=0}\bigg(1-kI_k\bigg) \) diverges

Creo que Tachikomaia le da un lugar al ajedrez muy pobre, por algo se llama juego ciencia y sobre este hay una cantidad de libros de teoría que ninguno de los demás juegos que él menciona tiene ni tendrá en la historia. Que debe haber un algoritmo matemático para ganar en ajedrez por supuesto que lo debe haber, pero su complejidad es tal que no se ha descubierto por completo. La razón de que existe un modelo matemático  se sustenta en que la programación de computadoras no es más que la aplicación de las matemáticas, hoy en día la inteligencia artificial llamada Alpha Zero de Google, solamente le programaron las reglas del ajedrez y en unas horas ya le estaba ganando al mejor programa de ajedrez en al actualidad, si fuese posible descubrir Como se autoprograma Alpha Zero, tendríamos un modelo matemático para jugar y ganar en  ajedrez.

https://francis.naukas.com/2017/12/09/alpha-go-zero-domina-el-ajedrez/
Saludos

Hola

Es correcto, sin hacer las cuentas. La clave esta en ver que un grupo de 11 jugadores se presenta como diferentes equipos, basta que uno de los grupos (defensas, mediocampistas, delanteros o arquero) sea diferente, para que  el equipo sea diferente.

Saludos

Hola Delmar muchas gracias.

Saludos

Claro tienes razon, Muchas gracias

Saludos

Gracias el_manco y delmar

Saludos

Buen dia a todos los compañeros del foro; El problema dice: Tenemos un grupo de 3 niños, 2 niñas y 1 adulto. ¿De cuántas formas se pueden organizar en una fila de modo que no haya dos niños o dos niñas seguidos?

Mi solución: Aplicando el principio de inclusión-exclusión

\( 6!-\left( \displaystyle\binom{3}{2} \cdot{5!}\cdot{2!}+5!\cdot{2!}-\displaystyle\binom{3}{2}\cdot{2!}\cdot{2!}\cdot{4!}\right)=48   \)

Agradezco si alguien puede confirmar si mi respuesta es correcta o si por el contrario hay algún error

saludos

Hola kike0001.

Cita de: kike0001 en 15 Octubre, 2016, 09:06 pm

Hola otro camino es utilizar el teorema que dice que todo subgrupo de un grupo cíclico es también cíclico. Ver el teorema 1.22

https://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra/Teor%C3%ADa_de_grupos/Grupos_generados_y_grupos_c%C3%ADclicos

saludos

 ¿Cómo lo aplicarías en nuestro caso? Nota que \( \mathbb{R} \) no es cíclico.

Saludos,

Enrique.

Hola Enrique me apresure en dar una respuesta, directamente no se puede aplicar ya que \(  \mathbb{R} \) no es cíclico, pero no se si es posible definir un isomorfismo entre el conjunto dado y un subconjunto de \( \mathbb{Z} \), ya que tal conjunto no es denso... depronto teorema de elección? no se... debo pensarlo mejor, gracias por la acotación.

saludos

Hola una solución es como la muestra el_manco solo que se le fue por equivocación, en la parte de la secante un 9 en vez de un 0. Otra forma de hacerlo es la siguiente:

Si \( \cot(x)<0, \sec(x)<0\implies x \) es un ángulo en el segundo cuadrante, por ende es posible asignarle un ángulo de referencia \( \alpha \) en el primer cuadrante tal que existe un triangulo rectangulo para el cual \( \cot(\alpha)=\sqrt[ ]{5}=\frac{\sqrt[ ]{5}}{1}=\frac{ad}{op} \), a partir de este triángulo encontrar los valores de \( \sin(\alpha), \cos(\alpha) \), relacionarlos respectivamente con \( \sin(x), \cos(x) \) para encontrar lo pedido \( \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x) \).

saludos

Hola, pues lo que se me ocurre es que sigas utilizando la misma función, y luego al resultado le programes la función parte entera.

saludos