[klaudia]

Hola a todos:

Os escribo dos enunciados que hace un tiempo intenté resolver sin ningún éxito. Se trata de aplicar algo que intuyo relacionado con binomios de Newton y números de Bernoulli ( eso intenté aplicar ), pero al final no sé por dónde tirar. Ahí van los ejercicios:

1) Sea \( a_n \) una sucesión y   \( b_n= p.a_n + q. a_{n+1} \) convergente. Demostrar que \( a_n \) converge si \( \left |{p}\right |<q \).  Demostrar que cuando \( |\left {p}\right|\geq{q>0}  \) , la sucesión \( a_n \) no converge necesariamente.


2) Calcula el límite  cuando n tiende al infinito de la sucesión:   \( a_n = \displaystyle\frac{1^k+2^k+3^k+...+n^k}{n^\left\{{k+1}\right\}} \)

gracias y un saludo...

[klaudia]

Bueno, confieso que atropellé con el segundo... me trabé con una reverenda tontería. Ya lo resolví: su límite, usando números de Bernoulli es 1/(k+1).

Desarrollando se llega al siguiente resultado:


\( \displaystyle\frac{1}{k+1}.\displaystyle\sum_{i=0}^k{\displaystyle\binom{k+1}{i}.\displaystyle\frac{B_i}{n^i}}+\displaystyle\frac{1}{n} \)


calculando el límite de esta expresión cuando n tiende al infinito,  se anulan los términos de la suma finita, excepto el primero. Por tanto, el límite será:


\( \displaystyle\frac{1}{k+1}.\displaystyle\binom{k+1}{0}.B_0 = 1/(k+1) \)


No he metido todo el desarrollo porque en el latex soy novata y me lío a veces un poco con las fórmulas.

saludos

[klaudia]

Definitivamente se me hace difícil manejar el LaTex.  Corrijo una errata en el primer ejercicio,  la sucesión convergente es:

\( b_n= p.a_n + q. a_{n+1} \)