[martiniano]

Hola.

No estoy seguro de haberte entendido. El área (positiva si está por encima del eje de abcisas y negativa en caso contrario) de la función \( \cos(x)  \) coincide con el incremento de una de esas primitivas.

No entiendo a qué te refieres con lo de área y función área, pero creo que esto ya va siendo otro tema. Tal vez una sea la primitiva y la otra la primitiva del valor absoluto.

Un saludo.

[Buscón]

Hola.

No estoy seguro de haberte entendido. El área (positiva si está por encima del eje de abcisas y negativa en caso contrario) de la función [tex]\cos(x) /tex] coincide con el incremento de una de esas primitivas.

No entiendo a qué te refieres con lo de área y función área, pero creo que esto ya va siendo otro tema. Tal vez una sea la primitiva y la otra la primitiva del valor absoluto.

Un saludo.

No se que pasa que el sistema no me deja citarte.

[martiniano]

Hola

Yo sí que puedo ver que me has citado. Creo que va lento porque el hilo tiene muchos mensajes, pero con un poco de paciencia la cosa acaba bien.

Un saludo.

[Buscón]

En la gráfica    \( \displaystyle\int\cos\,x\cdot{dx}=\sen\,x+C=F(x)+C \),    estas son todas las primitivas de la función     \( f(x)=\cos\,x \).   Todas ellas son funciones de área, área que depende del intervalo de integración, en definitiva es el área en función del intervalo de integración. Variando el intervalo de integración varía el área bajo la función    \( f(x)=\cos\,x \).

Todas ellas tienen una única derivada    \( (F(x)+C)'=f(x)=\cos\,x \).

Ahora bien,    \( \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\,x\cdot{dx} \)    es en cualquier caso el área bajo la función     \( f(x)=\cos\,x \)     entre     \( 0 \)     y     \( \frac{\pi}{2} \).


Cualquiera de las primitivas obtenidas al definir un intervalo de integración generan la misma área. Como cabía esperar pues la derivada de todas ellas es única.

Saludos.

EDITADO

[martiniano]

Bien. Parece que todo esto lo tienes claro. 

Un saludo.

[Buscón]

Bien. Parece que todo esto lo tienes claro. 

Un saludo.

Muchas. Solo falta grabarlo a fuego.   

[panchocheo]

Hola.

En este contexto al \( 1 \) se le suele llamar constante, más que número real, pero da un poco igual.

Y para acabar, la frase que te he puesto en negrita permite, cuando se está calculando una integral, ignorar las constantes de integración que puedan aparecer al calcular integrales intermedias, ya sea al integrar sumandos, aplicar el método por partes, o por el motivo que sea. Simplemente se añade una constante arbitraria en el momento en el que deja de haber integrales en la expresión y listo.

Ese    \( 1 \)    no es la constante de integración, ese    \( 1 \)    es resultado de los cálculos. Que no se ponga la constante al integrar por partes cada vez que se integra    \( dv \)    no quiere decir que no exista.

De hecho en el desarrollo del planteamiento del problema la integral está resuelta digamos "a medias", pero si se pone una constante de integración, (puesto que se integra una vez), se obtiene

\( \displaystyle\int\frac{1}{\sen\,x\cdot{}\cos\,x}\cdot{dx}=1+\int\frac{1}{\sen\,x\cdot{}\cos\,x}\cdot{dx}+C \),

\( C=-1 \);

desaparece la "aparente contradicción."

EDITADO.

Hola buscon y todos en el foro, no tuve la oportunidad de leer todo lo que pusierón, pero parece ser que la aparente contradicción a la que llegas es como dices en la cita que puse aquí arriba, ocurre cuando llevas a cabo la integracion por partes, ya que si recordamos como se obtiene la formula de intragración por partes vemos porque tienes que añadir esa cosntante. Si tenemos una funcion  \( u(x) \) y otra función \( v(x) \) derivables en todo punto tenemos que:

 \( \int(u \cdot v)'dx = u \cdot v + C_1 = \int (u\cdot v'+u'\cdot v)dx = \int(u\cdot v')dx + \int(u'\cdot v)dx \)

De la cual si despejamos para una de las dos ultimas integrales tenemos que:

\( u\cdot v + C_1 - \int (v\cdot u')dx = \int(u\cdot v')dx  \)

Por lo cual no es que se añade esa constante de la nada, si no que es necesaria añadirla para obtener el conjunto de todas las funciones que son solucion para esta expresión, y que por lo regular se omite esta constante \( C_1 \) en la fórmula de integración por partes porque podemos sumarla a la constante \( C_2 \) que obtenemos al integrar \( - \int (v\cdot u')dx \) y al final quedarnos una única constante  \( C_3 \). Por lo que se llega a la contradicción cuando sustituyes solamente el \( 1 \) en vez de \( 1+C_1 \) ya que estarías forzando a que la solución sea única, que por lo que vimos te lleva a una contradicción.

[Buscón]

De hecho en el desarrollo del planteamiento del problema la integral está resuelta digamos "a medias", pero si se pone una constante de integración, (puesto  Por lo que se llega a la contradicción cuando sustituyes solamente el \( 1 \) en vez de \( 1+C_1 \) ya que estarías forzando a que la solución sea única, que por lo que vimos te lleva a una contradicción.

El 1 que aparece en el desarrollo no es una constante añadida, es el resultado de los cálculos. Haz el desarrollo y verás que aparece sin añadirlo.

[panchocheo]

De hecho en el desarrollo del planteamiento del problema la integral está resuelta digamos "a medias", pero si se pone una constante de integración, (puesto  Por lo que se llega a la contradicción cuando sustituyes solamente el \( 1 \) en vez de \( 1+C_1 \) ya que estarías forzando a que la solución sea única, que por lo que vimos te lleva a una contradicción.

El 1 que aparece en el desarrollo no es una constante añadida, es el resultado de los cálculos. Haz el desarrollo y verás que aparece sin añadirlo.

Si, eso es a lo que me refiero, que tu al realizar todo el desarrollo desde la expresión inicial hasta la final en uno de esos pasos utilizaste la integracion por partes en esta forma:

\( \int uv'dx = u\cdot v - \int vu'dx \)

lo cuál es incorrecto si no realizas la integracion en el segundo miembro de esta expresión. De hecho puedes llegar a la misma contradicción partiendo de esta expresión anterior:

\(  u\cdot v = \int uv'dx + \int vu'dx = \int (uv' + vu')dx = \int(u\cdot v)'dx  \)
\(  u\cdot v  = u\cdot v + C  \)
\(  0 = C  \)

Para toda constante C. Por lo que en realidad cuando realizaste la integración por partes debiste haber usado:

\( \int uv'dx = u\cdot v + C_1 - \int vu'dx \)

que la obtienes del desarrollo que te puse en mi respuesta anterior.

[Buscón]

De hecho en el desarrollo del planteamiento del problema la integral está resuelta digamos "a medias", pero si se pone una constante de integración, (puesto  Por lo que se llega a la contradicción cuando sustituyes solamente el \( 1 \) en vez de \( 1+C_1 \) ya que estarías forzando a que la solución sea única, que por lo que vimos te lleva a una contradicción.

El 1 que aparece en el desarrollo no es una constante añadida, es el resultado de los cálculos. Haz el desarrollo y verás que aparece sin añadirlo.

Si, eso es a lo que me refiero, que tu al realizar todo el desarrollo desde la expresión inicial hasta la final en uno de esos pasos utilizaste la integracion por partes en esta forma:

\( \int uv'dx = u\cdot v - \int vu'dx \)

lo cuál es incorrecto si no realizas la integracion en el segundo miembro de esta expresión. De hecho puedes llegar a la misma contradicción partiendo de esta expresión anterior:

\(  u\cdot v = \int uv'dx + \int vu'dx = \int (uv' + vu')dx = \int(u\cdot v)'dx  \)
\(  u\cdot v  = u\cdot v + C  \)
\(  0 = C  \)

Para toda constante C. Por lo que en realidad cuando realizaste la integración por partes debiste haber usado:

\( \int uv'dx = u\cdot v + C_1 - \int vu'dx \)

que la obtienes del desarrollo que te puse en mi respuesta anterior.

El desarrollo del planteamiento no es mío, sólo desmenucé un poco más los pasos.

La técnica de integración por partes se obtiene de la derivación del producto.

\( (uv)'=u'v+uv'\Rightarrow{\int(uv)'}=\int u'v+\int uv'\Rightarrow{uv}=\int u'v+\int uv' \)

en este último paso, siendo estrictos, se integra la parte izquierda de la igualdad así que se debería añadir una constante.

\( uv+C_1=\int u'v+\int uv'\Rightarrow{\int u'v=uv+C_1-\int uv'} \)

Es obvio que    \( (uv+C_1)'=(uv)' \)    sea cual sea    \( C_1 \),    ahora suponiendo que    \( uv=1 \),    esto puede ocurrir

\( \int u'v=1+C_1-\int uv' \),

suponiendo también que    \( u'v=-uv' \),    esto también puede ocurrir,

\( \cancel{\int u'v}=1+C_1+\cancel{\int u'v} \),

\( 0=1+C_1 \),

\( -1=C_1 \).

¿Dónde está la contradicción?

Por eso creo que la respuesta correcta al ejercicio planteado es que ese uno que aparece no es la constante de integración, se da por concluido el proceso y no se añade dicha constante, cosa que debe hacerse siempre. Y de ahí la aparente contradicción.

Saludos.