[darksoul]

Hola, me podríais echar una mano a resolver este ejercicio? Muchas gracias
\( \LaTeX \) modificado por moderador
a) Estudiar si el conjunto \( T = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x+y+z = 0 \}  \) es o no un subespacio vectorial de \( \mathbb{R}^3 \)
b) Sea \( T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \), con \( T(x,y) = (x-y , x+y) \). Pruébese que \( T \) es una aplicación lineal.

[ani_pascual]

Hola:
Bienvenido al foro

Hola, me podríais echar una mano a resolver este ejercicio? Muchas gracias

Para el apartado a) puedes usar que \( T \) es el núcleo de una aplicación lineal, a saber, \( f:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R} \) dada por
\( f(x,y,z)=x+y+z \), es decir, \( T=ker(f) \), luego es un subespacio vectorial de \( \mathbb{R}^3 \)
Para el b) puedes usar la definición, es decir, probar que si \( \alpha,\alpha'\in\mathbb{R} \) entonces se cumple \( T(\alpha(x,y)+\alpha'(x',y'))=\alpha T(x,y)+\alpha' T(x',y') \), usando las operaciones usuales.
Saludos

[delmar]

Hola

Bienvenido al foro, darksoul

Es conveniente aprender Látex, los enunciados son más entendibles.
 
a) Una forma, \( R^3 \) es un espacio vectorial y \( T\subset{R^3} \), para que T sea un espacio vectorial, hay que demostrar, que si \( (x_1,y_1, z_1),(x_2,y_2,z_2)\in{T} \) entonces su suma también pertenece a T y que si \( \lambda\in{R}\wedge (x, y,z) \in{T} \) entonces \( \lambda. (x, y,z) \in{T} \)

b) Para que T, sea una aplicación lineal se ha de verificar :

Sí \( (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in{R^2}\Rightarrow{T((x_1,y_1)+(x_2,y_2))=T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2)} \)

Si \( \lambda\in{R}\wedge(x, y) \in{R^2}\Rightarrow{T(\lambda.(x,y))=\lambda.T(x,y)} \)


Saludos

[Fernando Revilla]

    También te puede ser útil practicar con lo ejercicios resueltos de:

        https://fernandorevilla.es/2014/05/13/subespacios-vectoriales-caracterizacion/
        https://fernandorevilla.es/2014/05/09/concepto-de-aplicacion-lineal/