[Pedro Romero]

La cuestión que se me plantea es la siguiente;

Me dicen que sea el espacio \( l_2 \)={Sucesiones reales tal que la suma de los cuadrados de todas sus componentes es finita},

consideremos la aplicación lineal \( \Lambda:l_2\rightarrow{}R \) dada por \( \Lambda(x)=2p_1+p_3 \), ya que \( x \) es una sucesión \( x= \){\( p_1,p_2,p_3,... \)}.

Me piden que demuestre que la aplicación es lineal y continua;

1) Lo de la linealidad no se exactamente como hacerlo porque al ser con sucesiones me lío un poco. Había pensado en coger \( x \) e \( y \) dos sucesiones el \( l_2 \) y como convergen pues definir sus limites como a y b y entonces la sucesión \( \alpha*x+\beta*y \) entiendo que convergirá a \( \alpha*a+\beta*b\in{R} \). Se que seguramente sea trivial ver la linealidad pero no se me ocurre exactamente

2) Para ver la continuidad de la aplicación se me ocurre usar el teorema de caracterización de las aplicaciones lineales continuas entre espacios normados o ver que es secuencialmente continua, pero no se exactamente como aplicarlo.

Si pudieran ayudar se lo agradecería

[Luis Fuentes]

Hola

La cuestión que se me plantea es la siguiente;

Me dicen que sea el espacio \( l_2 \)={Sucesiones reales tal que la suma de los cuadrados de todas sus componentes es finita},

consideremos la aplicación lineal \( \Lambda:l_2\rightarrow{}R \) dada por \( \Lambda(x)=2p_1+p_3 \), ya que \( x \) es una sucesión \( x= \){\( p_1,p_2,p_3,... \)}.

¿Por qué no llamas a los términos de la sucesión \( x \) cómo \( x_1,x_2,x_3,\ldots... \)?. Parece una notación más natural.

Me piden que demuestre que la aplicación es lineal y continua;

1) Lo de la linealidad no se exactamente como hacerlo porque al ser con sucesiones me lío un poco. Había pensado en coger \( x \) e \( y \) dos sucesiones el \( l_2 \) y como convergen pues definir sus limites como a y b y entonces la sucesión \( \alpha*x+\beta*y \) entiendo que convergirá a \( \alpha*a+\beta*b\in{R} \). Se que seguramente sea trivial ver la linealidad pero no se me ocurre exactamente

Tienes que probar la definición, es decir, que:

\( \Lambda(ax+by)=a\Lambda(x)+b\Lambda(y) \)

para cualesqueira \( x,y\in l_2 \), \( a,b[\in \Bbb R \).

Y es muy inmediato. Ten en cuenta que \( (ax+by)_i=ax_i+by_i \). Entonces:

\( \Lambda(ax+by)=2(ax+by)_1+(ax+by)_3=2(ax_1+by_1)+(ax_3+by_3)=2ax_1+2by_1+ax_3+by_3 \)

Continua con el otro lado de la igualdad y compara.

2) Para ver la continuidad de la aplicación se me ocurre usar el teorema de caracterización de las aplicaciones lineales continuas entre espacios normados o ver que es secuencialmente continua, pero no se exactamente como aplicarlo.

Basta que pruebes que existe una constante \( \color{red}M\color{black} \) tal que:

\( |\Lambda(x)|\leq \color{red}M\color{black}\|x\| \)

para todo \( x\in l^2 \). Recuerda que:

\( \|x\|=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{}x_i^2\right)^{1/2} \geq (x_1^2+x_3^2)^{1/2}\geq \dfrac{1}{\sqrt{2}}(|x_1|+|x_3|) \)

Hemos usado que:

\( 2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2 \)

ya que lo anterior desarrollando equivale a:

\( 2a^2+2b^2\geq a^2+b^2+2ab \)
\( a^2+b^2-2ab\geq 0 \)
\( (a-b)^2\geq 0 \)

¿Eres capaz de terminar?.

Saludos.

CORREGIDO

[Pedro Romero]

Hola

La cuestión que se me plantea es la siguiente;

Me dicen que sea el espacio \( l_2 \)={Sucesiones reales tal que la suma de los cuadrados de todas sus componentes es finita},

consideremos la aplicación lineal \( \Lambda:l_2\rightarrow{}R \) dada por \( \Lambda(x)=2p_1+p_3 \), ya que \( x \) es una sucesión \( x= \){\( p_1,p_2,p_3,... \)}.

¿Por qué no llamas a los términos de la sucesión \( x \) cómo \( x_1,x_2,x_3,\ldots... \)?. Parece una notación más natural.

Me piden que demuestre que la aplicación es lineal y continua;

1) Lo de la linealidad no se exactamente como hacerlo porque al ser con sucesiones me lío un poco. Había pensado en coger \( x \) e \( y \) dos sucesiones el \( l_2 \) y como convergen pues definir sus limites como a y b y entonces la sucesión \( \alpha*x+\beta*y \) entiendo que convergirá a \( \alpha*a+\beta*b\in{R} \). Se que seguramente sea trivial ver la linealidad pero no se me ocurre exactamente

Tienes que probar la definición, es decir, que:

\( \Lambda(ax+by)=a\Lambda(x)+b\Lambda(y) \)

para cualesqueira \( x,y\in l_2 \), \( a,b[\in \Bbb R \).

Y es muy inmediato. Ten en cuenta que \( (ax+by)_i=ax_i+by_i \). Entonces:

\( \Lambda(ax+by)=2(ax+by)_1+(ax+by)_3=2(ax_1+by_1)+(ax_3+by_3)=2ax_1+2by_1+ax_3+by_3 \)

Continua con el otro lado de la igualdad y compara.

2) Para ver la continuidad de la aplicación se me ocurre usar el teorema de caracterización de las aplicaciones lineales continuas entre espacios normados o ver que es secuencialmente continua, pero no se exactamente como aplicarlo.

Basta que pruebes que existe una constante tal que:

\( |\Lambda(x)|\leq \|x\| \)

para todo \( x\in l^2 \). Recuerda que:

\( \|x\|=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{}x_i^2\right)^{1/2} \geq (x_1^2+x_3^2)^{1/2}\geq \dfrac{1}{\sqrt{2}}(|x_1|+|x_3|) \)

Hemos usado que:

\( 2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2 \)

ya que lo anterior desarrollando equivale a:

\( 2a^2+2b^2\geq a^2+b^2+2ab \)
\( a^2+b^2-2ab\geq 0 \)
\( (a-b)^2\geq 0 \)

¿Eres capaz de terminar?.

Saludos.

Hola, antes de nada muchas gracias por responder;

Respecto al apartado de la continuidad, estas usando que si tenemos dos espacios normados y un operador lineal entre ellos, entonces son equivalentes que el operador lineal es acotado y que es continuo?  En ese caso siempre hay que coger la norma de la sucesión \( x \) como cota superior?

Luego el desarrollo de \( ||x|| \) lo entiendo pero entonces creo que faltaría probar que \( 1/\sqrt{ 2 }*(|x_1|+|x_3|)\geq{}|2x_1+x_3| \) y lo que si creo que es cierto es que \( |x_1|+|x_3|\geq{}|x_1+x_3| \), pero se verifica también lo de antes con los números multiplicando?

[Luis Fuentes]

Hola

Respecto al apartado de la continuidad, estas usando que si tenemos dos espacios normados y un operador lineal entre ellos, entonces son equivalentes que el operador lineal es acotado y que es continuo?

Si.

En ese caso siempre hay que coger la norma de la sucesión \( x \) como cota superior?

Tenía una errata y supongo que de ahí la pregunta. Hay que arreglárselas para dar un \( M \) que cumpla:

\( \|\Lambda(x)\|\leq \color{red}M\color{black}\|x\| \)

Luego el desarrollo de \( ||x|| \) lo entiendo pero entonces creo que faltaría probar que \( 1/\sqrt{ 2 }*(|x_1|+|x_3|)\geq{}|2x_1+x_3| \) y lo que si creo que es cierto es que \( |x_1|+|x_3|\geq{}|x_1+x_3| \), pero se verifica también lo de antes con los números multiplicando?

Sería:

\( \dfrac{1}{\sqrt{2}}(|x_1|+|x_3|)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}(2|x_1|+2|x_3|)\geq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}(2|x_1|+|x_3|)\geq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}(|2x_1+x_3|)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}|\Lambda(x)| \)

Por tanto puedes tomar \( M=2\sqrt{2}. \)

Saludos.