Buenas Richard,
La posición inicial \( x_i \) es la mitad de la longitud natural.
El punto de equilibrio del sistema estará más abajo de la longitud natural. El estiramiento en equilibrio es
\( \Delta L_{eq}=\dfrac{mg}{k} \)
La posición de equilibrio es
\( x_{eq}=ln+\Delta L_{eq} \)
La amplitud de la oscilación inicial entonces es
\( A=x_{eq}-x_i=ln/2+\Delta L_{eq} \)
La posición máxima es entonces
\( x_{max}=x_{eq}+A=ln+\Delta L_{eq}+ln/2+\Delta L_{eq} \)
\( x_{max}=\dfrac 32 ln+2\dfrac{mg}{k} \)
Gracias por tu solución también, no he dado el tema que sea pero parece bastante mas rápido que el método de energías 
Hoy no es mi día con la física, creo que deberé repasar todos los temas desde cinemática (tengo prueba en unas semanas y me esta yendo fatal jeje)
Saludos y gracias a todos por la ayuda,
Franco.
Es relativamente más sencilla la obtención de la solución, pero hay que asumir ciertas consideraciones adicionales, que a mi juicio seria conveniente justificar.
1ª que se trata de un movimiento armónico simple ( aunque puede parecer bastante evidente).
2ª justificar el nuevo punto de equilibrio y la amplitud.
Una justificación que a mi en principio me valdría ( todo depende del grado de detalle o rigor que se pida)
Es entender que el movimiento de la masa sería el mismo que el de una masa unida a un resorte sin la fuerza de la gravedad, es decir la fuerza gravitatoria solo afectaría a que la nueva "longitud natural" sería L más lo que se estira debido al peso de la masa colgante.
Imaginemos que tenemos la masa en equilibrio de fuerzas ( en reposo) con el resorte , debido al peso el resorte se estiraría una longitud \( \Delta L_{eq} \) respecto de la original L. Por tanto la nueva posición de equilibrio será: \( x_{eq}=L+\Delta L_{eq} \)
Por Newton: \( K\Delta L_{eq}=mg\Rightarrow{}\Delta L_eq=\displaystyle\frac{mg}{k}=b \)
A partir de aquí se puede entender que el efecto de la gravedad ya esta incluida en este estiramiento "b" que se compensa con la fuerza elástica, cualquier estiramiento o compresión adicional desde esta nueva posición de equilibrio se considera como si fuera un resorte con masa M, (SIn gravedad) que se estira o comprime desde su nueva posición natural \( l+b \)
Entonces
Richard, lo que asume es que se trata de un m.a.s.( movimiento armónico simple) en torno a \( l+b \), Calcula la amplitud como
la diferencia entre la nueva posición de equilibrio y la inicial: \( A= l+b-\dfrac l2=\dfrac l2+b \) , para saber la posición más baja le suma a la nueva posición natural la amplitud. \( x_{máx}=l+b+b+\dfrac l2=2b+\dfrac 32 l \)
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Si queremos hacerlo más riguroso.
Partimos de la ec. diferencial del movimiento (leyes de Newtón)
\( mg-k(x-l)=m\dfrac{d^2x}{dt^2} \) : llamo por comodidad \( y=x-l \) y \( w^2=\displaystyle\frac{m}{k} \), llegamos a:
\( y+w^2\dfrac{d^2y}{dt^2}=\displaystyle\frac{mg}{k}=b \)
se trata de una e.d.o. de no homogénea de 2º grado.
La solución general será: la general de la homogénea más una solución particular. ( en este caso puede la particular ser la del estado estacionario si \( \dfrac{d^2y}{dt^2}=0 \)) .
\( y=y_h+y_p \)
Por ello \( y_p=b \)
La homogénea \( y_h=A\cos wt + B\,\sen wt \)
Con las condiciones iniciales \( x_o=\dfrac l2\rightarrow{}y_o=-\dfrac l2 \) y \( \dfrac{dx_o}{dt}=\dfrac{dy_o}{dt}=0 \)
Llegamos a: \( x-l=-A\cos(wt)+b \) , con \( A=\displaystyle\frac{1}{2}l+b \)
En resumen: \( x=\left({\dfrac{1}{2}l+b}\right)\cos(wt+\pi)+ \displaystyle\frac{mg}{k}+l \)
Como los valores máximos y mínimos del coseno son +1 y -1
\( x_{max}=l+A+b=l+\dfrac{1}{2}l+b+b=\dfrac{3}{2}l+ 2b \)
\( x_{min}=l-A+b=l-\dfrac{1}{2}l-b+b=\dfrac{1}{2}l \)
Saludos.
