Me he encontrado un ejercicio de teoría de probabilidad que me ha parecido interesante.
Sea \( E \) un conjunto finito con la topología discreta y con \( \sigma \)-álgebra de Borel (es decir el conjunto potencia en este caso). Entonces podemos definir una medida de probabilidad en \( E \) por \( \mu _p:=\sum_{k=1}^{\# E}p_k \delta _{x_k} \) donde
- \( \# E \) es la cardinalidad del conjunto \( E \)
- \( p=(p_1,p_2,\ldots ,p_{\# E}) \) es un vector de probabilidad (es decir que sus coordenadas \( p_k \) toman valores en \( [0,1] \) y \( \sum_{k=1}^{\# E}p_k=1 \))
- los \( x_k \) son los elementos del conjunto \( E \), donde \( k\in\{1,\ldots ,\# E\} \)
- \( \delta _y(A) :=\mathbf{1}_{A}(y ) \) es simplemente la medida de Dirac asociada al punto \( y \in E \)
Ahora definimos la topología producto en \( E^{\mathbb{N}}:= \prod_{k\geqslant 1}E_k \), donde \( E_k=E \) para todo \( k\in \mathbb{N} \), y la correspondiente \( \sigma \)-álgebra de Borel. También definimos la medida producto generada a partir de \( \mu _p \), sea esta medida producto \( P:= \prod_{k\geqslant 1}\mu _{k,p} \) donde \( \mu _{k,p}= \mu _p \) para todo \( k \in \mathbb{N} \). Se puede verificar que \( P \) es una medida de probabilidad en \( E^{\mathbb{N}} \) al igual que \( \mu _p \) lo es en \( E \).
Ahora tomamos \( E:=\{0,1\} \) y \( \mu _p \) la medida de Bernoulli con \( p=(1/2,1/2) \), y finalmente definimos la variable aleatoria \( X:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to [0,1] \) como \( X:= \sum_{k\geqslant 1}2^{-k}X_k \) donde cada \( X_k(y):=y_k \) es la proyección de la sucesión \( y\in \{0,1\}^{\mathbb{N}} \) a su \( k \)-ésima coordenada.
Ahora, la pregunta del millón: ¿cuál es la distribución de \( X \)? Es decir: ¿cuál es la medida inducida en \( [0,1] \) por \( X \)?
