Rincón Matemático
Matemática => Matemáticas Generales => Trigonometría y Geometría Analítica => Mensaje iniciado por: narpnarp en 04 Mayo, 2021, 12:18 am
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Hola.
Estoy leyendo un libro de precalculo y se me da un pequeño avance de cálculo introduciéndome a la derivada y su definición que es determinar la pendiente de la recta tangente a la función.
Si \( f \) es una función par y \( (x,y) \) está en la gráfica de \( f \), entonces \( (-x,y) \) también está en la gráfica de \( f \). ¿Cómo se relacionan las pendientes de las tangentes en \( (x,y) \) y \( (-x,y) \)?
Sé que para las funciones pares \( f(x)=f(-x) \) e hice uso de la definición de derivada
\( f'(x)=\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
Ahora evalué \( -x \)
\( f'=\displaystyle\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}=\displaystyle\frac{f(-(x-h))-f(x)}{h}=\displaystyle\frac{f(x-h)-f(x)}{h} \)
Pero no llegué a nada más.
También traté de hacer uso de otra definición de derivada
\( f'=\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \), pero igual no llegué a nada.
Saludos.
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Esto es falso:
\( f'(x) = \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \) debería ser \( \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
Debes usar que si es \( f \) par en un dominio que garantiza lo pedido:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(-x-h)-f(-x)}{h} = \displaystyle \lim_{h \to 0} -\dfrac{f(-x-h)-f(-x)}{-h} = -f'(-x) \)
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Hola.
Estoy leyendo un libro de precalculo y se me da un pequeño avance de cálculo introduciéndome a la derivada y su definición que es determinar la pendiente de la recta tangente a la función.
Si \( f \) es una función par y \( (x,y) \) está en la gráfica de \( f \), entonces \( (-x,y) \) también está en la gráfica de \( f \). ¿Cómo se relacionan las pendientes de las tangentes en \( (x,y) \) y \( (-x,y) \)?
Sé que para las funciones pares \( f(x)=f(-x) \) e hice uso de la definición de derivada
\( f'(x)=\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
Ahora evalué \( -x \)
\( f'=\displaystyle\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}=\displaystyle\frac{f(-(x-h))-f(x)}{h}=\displaystyle\frac{f(x-h)-f(x)}{h} \)
...
Escríbelo como debe ser, como un límite. En la última expresión haz el cambio de variable \( t=-h \) y llegarás a que \( f^{\prime}(-x)=-f^{\prime}(x) \)
es decir las derivadas son una la opuesta de la otra o una es el reflejo de la otra respecto al eje Y. Ese resultado también nos dice que la derivada de \( f \) es impar.
Saludos
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Hola.
Se me paso poner al completo la ecuación. Nunca había escrito los límites por internet.
Una de las cosas de las que sé qye me equivoqué fue solo sustituir \( x \) por \( -x \), y no ver que \( (x+h) \) debe de ser negado y así escribir \( -(x+h) \)
No entiendo por qué \( h \) no cambia de signo al hacer la sustitución
\( \displaystyle\lim_{h \to0}{}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \displaystyle\lim_{x \to}{}\displaystyle\frac{f(-x-h)-f(-x)}{h}
\)
Saludos.
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Hola.
Se me paso poner al completo la ecuación. Nunca había escrito los límites por internet.
Una de las cosas de las que sé qye me equivoqué fue solo sustituir \( x \) por \( -x \), y no ver que \( (x+h) \) debe de ser negado y así escribir \( -(x+h) \)...
No. Lo que dices no es correcto. Si quiero conseguir la derivada de \( f \) en un punto \( -x \) de su dominio escribo:
\( f^{\prime}(-x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}} \)
con \( f \) par escribo:
\( f^{\prime}(-x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(-(x-h))-f(-x)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(x-h)-f(x)}{h}} \)
haciendo el cambio \( t=-h \) en el último límite:
\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(x-h)-f(x)}{h}}=-\displaystyle\lim_{t \to{0}}{\displaystyle\frac{f(x+t)-f(x)}{t}}=-f^{\prime}(x) \)
por tanto
\( f^{\prime}(-x)=-f^{\prime}(x) \)
Saludos
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Hola.
¿Por qué se realiza el cambio \( t=-h \)? Eso no me lo han enseñado.
Saludos.