Rincón Matemático
Disciplinas relacionadas y temas generales => Temas de Física => Mensaje iniciado por: franma en 23 Abril, 2021, 07:51 pm
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Buenas,
Nuevamente trancado en un ejercicio de energía :banghead: dice lo siguiente:
Una caja de masa M está fija al techo mediante un resorte, de constante k y longitud natural ln. Al principio, el resorte se comprime hasta tener una longitud ln/2. Si se suelta la caja, ¿a qué distancia abajo del techo llegará por primera vez al reposo?
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=116593.0;attach=23143)
Lo que llevo hecho hasta el momento es:
Tome como referencia de la energía potencial gravitatoria el techo (ya que así lo recomendaba el ejercicio) y tome 2 instantes, el inicial con el resorte comprimido y cuando llega al reposo.
(x es la longitud total hasta el momento de reposo)
\( \displaystyle E_1=\frac{k(\frac{1}{2}ln)^2}{2} - mg(\frac{1}{2}ln) \)
\( \displaystyle E_2= -mgx + \frac{k(x-ln)^2}{2} \)
He intentado despejar x igualando ambas energías (ya que no actúan fuerzas no conservativas) pero no he logrado llegar a nada, tal vez tengo un error en el planteo de las energías, agradecería cualquier ayuda.
Saludos,
Franco.
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Hola:
Spoiler
Buenas,
Nuevamente trancado en un ejercicio de energía :banghead: dice lo siguiente:
Una caja de masa M está fija al techo mediante un resorte, de constante k y longitud natural ln. Al principio, el resorte se comprime hasta tener una longitud ln/2. Si se suelta la caja, ¿a qué distancia abajo del techo llegará por primera vez al reposo?
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=116593.0;attach=23143)
Lo que llevo hecho hasta el momento es:
Tome como referencia de la energía potencial gravitatoria el techo (ya que así lo recomendaba el ejercicio) y tome 2 instantes, el inicial con el resorte comprimido y cuando llega al reposo.
(x es la longitud total hasta el momento de reposo)
\( \displaystyle E_1=\frac{k(\frac{1}{2}ln)^2}{2} - mg(\frac{1}{2}ln) \)
\( \displaystyle E_2= -mgx + \frac{k(x-ln)^2}{2} \)
He intentado despejar x igualando ambas energías (ya que no actúan fuerzas no conservativas) pero no he logrado llegar a nada, tal vez tengo un error en el planteo de las energías, agradecería cualquier ayuda.
Saludos,
Franco.
Debes igualar energías: \( E_1=E_2 \), desarrollas el paréntesis \( (x-in)^2 \) , te queda una ecuación de 2º grado en "x", saca factor común la \( x^2 \), la \( x \) y el término independiente (todo lo que no tenga de factor ninguna "x" , te quedará \( ax^2 + bx +c=0 \)
Por último, utiliza la fórmula de las raíces de la ec. de 2ª grado, lo único que pasa es que queden en función de \( k,m, g\,\, y\, \,ln. \)
Saludos.
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Buenas Robin,
Hola:
Spoiler
Buenas,
Nuevamente trancado en un ejercicio de energía :banghead: dice lo siguiente:
Una caja de masa M está fija al techo mediante un resorte, de constante k y longitud natural ln. Al principio, el resorte se comprime hasta tener una longitud ln/2. Si se suelta la caja, ¿a qué distancia abajo del techo llegará por primera vez al reposo?
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=116593.0;attach=23143)
Lo que llevo hecho hasta el momento es:
Tome como referencia de la energía potencial gravitatoria el techo (ya que así lo recomendaba el ejercicio) y tome 2 instantes, el inicial con el resorte comprimido y cuando llega al reposo.
(x es la longitud total hasta el momento de reposo)
\( \displaystyle E_1=\frac{k(\frac{1}{2}ln)^2}{2} - mg(\frac{1}{2}ln) \)
\( \displaystyle E_2= -mgx + \frac{k(x-ln)^2}{2} \)
He intentado despejar x igualando ambas energías (ya que no actúan fuerzas no conservativas) pero no he logrado llegar a nada, tal vez tengo un error en el planteo de las energías, agradecería cualquier ayuda.
Saludos,
Franco.
Debes igualar energías: \( E_1=E_2 \), desarrollas el paréntesis \( (x-in)^2 \) , te queda una ecuación de 2º grado en "x", saca factor común la \( x^2 \), la \( x \) y el término independiente (todo lo que no tenga de factor ninguna "x" , te quedará \( ax^2 + bx +c=0 \)
Por último, utiliza la fórmula de las raíces de la ec. de 2ª grado, lo único que pasa es que queden en función de \( k,m, g\,\, y\, \,ln. \)
Saludos.
Llegue a esto:
\( x^2(-k) + x(2mg + 2kln) - (mgln+ln^2-\frac{1}{4}kln) = 0 \)
Ahora con la formula para raíces de 2do grado:
\( \displaystyle \frac{-(2mg + 2kln) \pm \sqrt{ (2mg + 2kln)^2 +4k(-mgln-ln^2+\frac{1}{4}kln) }}{-2k} \)
Obviamente que debo operar para simplificar un poco la expresión, pero la solución correcta seria por ese camino?
"Simplificando" un poco mas y con ln=L:
\( \displaystyle \frac{-(2mg + 2kL) \pm \sqrt{ 4m^2g^2+4mgkL+k^2L-4kL^2 }}{-2k} \)
Saludos,
Franco.
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Buenas Robin,
Hola:
Spoiler
Buenas,
Nuevamente trancado en un ejercicio de energía :banghead: dice lo siguiente:
Una caja de masa M está fija al techo mediante un resorte, de constante k y longitud natural ln. Al principio, el resorte se comprime hasta tener una longitud ln/2. Si se suelta la caja, ¿a qué distancia abajo del techo llegará por primera vez al reposo?
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=116593.0;attach=23143)
Lo que llevo hecho hasta el momento es:
Tome como referencia de la energía potencial gravitatoria el techo (ya que así lo recomendaba el ejercicio) y tome 2 instantes, el inicial con el resorte comprimido y cuando llega al reposo.
(x es la longitud total hasta el momento de reposo)
\( \displaystyle E_1=\frac{k(\frac{1}{2}ln)^2}{2} - mg(\frac{1}{2}ln) \)
\( \displaystyle E_2= -mgx + \frac{k(x-ln)^2}{2} \)
He intentado despejar x igualando ambas energías (ya que no actúan fuerzas no conservativas) pero no he logrado llegar a nada, tal vez tengo un error en el planteo de las energías, agradecería cualquier ayuda.
Saludos,
Franco.
Debes igualar energías: \( E_1=E_2 \), desarrollas el paréntesis \( (x-in)^2 \) , te queda una ecuación de 2º grado en "x", saca factor común la \( x^2 \), la \( x \) y el término independiente (todo lo que no tenga de factor ninguna "x" , te quedará \( ax^2 + bx +c=0 \)
Por último, utiliza la fórmula de las raíces de la ec. de 2ª grado, lo único que pasa es que queden en función de \( k,m, g\,\, y\, \,ln. \)
Saludos.
Llegue a esto:
\( x^2(-k) + x(2mg + 2kln) - (mgln+\color{red}k\color{black}ln^2-\frac{1}{4}kln) = 0 \)
Ahora con la formula para raíces de 2do grado:
\( \displaystyle \frac{-(2mg + 2kln) \pm \sqrt{ (2mg + 2kln)^2 +4k(-mgln-ln^2+\frac{1}{4}kln) }}{-2k} \)
Obviamente que debo operar para simplificar un poco la expresión, pero la solución correcta seria por ese camino?
"Simplificando" un poco mas y con ln=L:
\( \displaystyle \frac{-(2mg + 2kL) \pm \sqrt{ 4m^2g^2+4mgkL+k^2L-4kL^2 }}{-2k} \)
Saludos,
Franco.
Te falta un factor \( k \) , delante del \( l^2 \), lo marqué en rojo.
Yo llego a:(corregido)
\( x^2 -2(b+l)x+\displaystyle\frac{3}{4}l^2+bl \) , con \( b=\displaystyle\frac{mg}{k} \)
\( x=\displaystyle\frac{2(b+l)\pm{\sqrt[ ]{4(b+l)^2 -3l^2-4lb}}}{2}=\displaystyle\frac{2(b+l)\pm{\sqrt[ ]{(2b+l)^2}}}{2} \)
\( x_1=\displaystyle\frac{1}{2}l \) y \( x_2=\displaystyle\frac{4b+3l}{2} \)
Ahora solo te queda ver cual de las 2 soluciones es la correcta.
Saludos.
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Hola a tod@s.
Lo planteé de la siguiente manera, pero si no se utiliza una agrupación de constantes (antes había escrito cambio de variable, por error) como ha hecho robinlambada con gran acierto, no hay manera de simplificar.
\( E_1=\dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{l}{2}\right)^2-mg\dfrac{l}{2} \).
\( E_2=\dfrac{1}{2}k(\Delta y)^2-mg(l+\Delta y) \).
Saludos cordiales,
JCB.
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Buenas Robin,
Hola:
Spoiler
Buenas,
Nuevamente trancado en un ejercicio de energía :banghead: dice lo siguiente:
Una caja de masa M está fija al techo mediante un resorte, de constante k y longitud natural ln. Al principio, el resorte se comprime hasta tener una longitud ln/2. Si se suelta la caja, ¿a qué distancia abajo del techo llegará por primera vez al reposo?
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=116593.0;attach=23143)
Lo que llevo hecho hasta el momento es:
Tome como referencia de la energía potencial gravitatoria el techo (ya que así lo recomendaba el ejercicio) y tome 2 instantes, el inicial con el resorte comprimido y cuando llega al reposo.
(x es la longitud total hasta el momento de reposo)
\( \displaystyle E_1=\frac{k(\frac{1}{2}ln)^2}{2} - mg(\frac{1}{2}ln) \)
\( \displaystyle E_2= -mgx + \frac{k(x-ln)^2}{2} \)
He intentado despejar x igualando ambas energías (ya que no actúan fuerzas no conservativas) pero no he logrado llegar a nada, tal vez tengo un error en el planteo de las energías, agradecería cualquier ayuda.
Saludos,
Franco.
Debes igualar energías: \( E_1=E_2 \), desarrollas el paréntesis \( (x-in)^2 \) , te queda una ecuación de 2º grado en "x", saca factor común la \( x^2 \), la \( x \) y el término independiente (todo lo que no tenga de factor ninguna "x" , te quedará \( ax^2 + bx +c=0 \)
Por último, utiliza la fórmula de las raíces de la ec. de 2ª grado, lo único que pasa es que queden en función de \( k,m, g\,\, y\, \,ln. \)
Saludos.
Llegue a esto:
\( x^2(-k) + x(2mg + 2kln) - (mgln+\color{red}k\color{black}ln^2-\frac{1}{4}kln) = 0 \)
Ahora con la formula para raíces de 2do grado:
\( \displaystyle \frac{-(2mg + 2kln) \pm \sqrt{ (2mg + 2kln)^2 +4k(-mgln-ln^2+\frac{1}{4}kln) }}{-2k} \)
Obviamente que debo operar para simplificar un poco la expresión, pero la solución correcta seria por ese camino?
"Simplificando" un poco mas y con ln=L:
\( \displaystyle \frac{-(2mg + 2kL) \pm \sqrt{ 4m^2g^2+4mgkL+k^2L-4kL^2 }}{-2k} \)
Saludos,
Franco.
Te falta un factor \( k \) , delante del \( l^2 \), lo marqué en rojo.
Yo llego a:(corregido)
\( x^2 -2(b+l)x+\displaystyle\frac{3}{4}l^2+bl \) , con \( b=\displaystyle\frac{mg}{k} \)
\( x=\displaystyle\frac{2(b+l)\pm{\sqrt[ ]{4(b+l)^2 -3l^2-4lb}}}{2}=\displaystyle\frac{2(b+l)\pm{\sqrt[ ]{(2b+l)^2}}}{2} \)
\( x_1=\displaystyle\frac{1}{2}l \) y \( x_2=\displaystyle\frac{4b+3l}{2} \)
Ahora solo te queda ver cual de las 2 soluciones es la correcta.
Saludos.
Muchas gracias nuevamente por la ayuda, para encontrar la correcta, la verdad me la jugaría por la primera, ya que al remplazarla en la igualdad de energías original quedan iguales.
Si no es por eso, no tendría ni idea como decidir.
Saludos,
Franco.
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\( x_1=\displaystyle\frac{1}{2}l \) y \( x_2=\displaystyle\frac{4b+3l}{2} \)
Ahora solo te queda ver cual de las 2 soluciones es la correcta.
Saludos.
Muchas gracias nuevamente por la ayuda, para encontrar la correcta, la verdad me la jugaría por la primera, ya que al remplazarla en la igualdad de energías original quedan iguales.
Si no es por eso, no tendría ni idea como decidir.
Saludos,
Franco.
Las dos son soluciones de la ecuación, si sustituyes en la ecuación de 2º grado la segunda solución también se cumple la igualdad.
Piénsalo un poco más, hay varios motivos, lee de nuevo lo que te piden, interpreta para que casos es válida las expresiones de la energía mecánica puesta y piensa en los posibles valores de la x.
Saludos.
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\( x_1=\displaystyle\frac{1}{2}l \) y \( x_2=\displaystyle\frac{4b+3l}{2} \)
Ahora solo te queda ver cual de las 2 soluciones es la correcta.
Saludos.
Muchas gracias nuevamente por la ayuda, para encontrar la correcta, la verdad me la jugaría por la primera, ya que al remplazarla en la igualdad de energías original quedan iguales.
Si no es por eso, no tendría ni idea como decidir.
Saludos,
Franco.
Las dos son soluciones de la ecuación, si sustituyes en la ecuación de 2º grado la segunda solución también se cumple la igualdad.
Piénsalo un poco más, hay varios motivos, lee de nuevo lo que te piden, interpreta para que casos es válida las expresiones de la energía mecánica puesta y piensa en los posibles valores de la x.
Saludos.
Pues ahora que lo dices… supongo que los dos puntos de reposo posibles serán entonces el inicio donde comienza en reposo y la posición mas baja antes de volver a subir, el \( \frac{ln}{2} \) entiendo ahora que será la posición inicial por lo que la respuesta correcta seria \( \frac{4b+3l}{2} \) que seria el punto mas bajo no?
Saludos,
Franco
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La posición inicial \( x_i \) es la mitad de la longitud natural.
El punto de equilibrio del sistema estará más abajo de la longitud natural. El estiramiento en equilibrio es
\( \Delta L_{eq}=\dfrac{mg}{k} \)
La posición de equilibrio es
\( x_{eq}=ln+\Delta L_{eq} \)
La amplitud de la oscilación inicial entonces es
\( A=x_{eq}-x_i=ln/2+\Delta L_{eq} \)
La posición máxima es entonces
\( x_{max}=x_{eq}+A=ln+\Delta L_{eq}+ln/2+\Delta L_{eq} \)
\( x_{max}=\dfrac 32 ln+2\dfrac{mg}{k} \)
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Buenas Richard,
La posición inicial \( x_i \) es la mitad de la longitud natural.
El punto de equilibrio del sistema estará más abajo de la longitud natural. El estiramiento en equilibrio es
\( \Delta L_{eq}=\dfrac{mg}{k} \)
La posición de equilibrio es
\( x_{eq}=ln+\Delta L_{eq} \)
La amplitud de la oscilación inicial entonces es
\( A=x_{eq}-x_i=ln/2+\Delta L_{eq} \)
La posición máxima es entonces
\( x_{max}=x_{eq}+A=ln+\Delta L_{eq}+ln/2+\Delta L_{eq} \)
\( x_{max}=\dfrac 32 ln+2\dfrac{mg}{k} \)
Gracias por tu solución también, no he dado el tema que sea pero parece bastante mas rápido que el método de energías :laugh:
Hoy no es mi día con la física, creo que deberé repasar todos los temas desde cinemática (tengo prueba en unas semanas y me esta yendo fatal jeje)
Saludos y gracias a todos por la ayuda,
Franco.
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Buenas Richard,
La posición inicial \( x_i \) es la mitad de la longitud natural.
El punto de equilibrio del sistema estará más abajo de la longitud natural. El estiramiento en equilibrio es
\( \Delta L_{eq}=\dfrac{mg}{k} \)
La posición de equilibrio es
\( x_{eq}=ln+\Delta L_{eq} \)
La amplitud de la oscilación inicial entonces es
\( A=x_{eq}-x_i=ln/2+\Delta L_{eq} \)
La posición máxima es entonces
\( x_{max}=x_{eq}+A=ln+\Delta L_{eq}+ln/2+\Delta L_{eq} \)
\( x_{max}=\dfrac 32 ln+2\dfrac{mg}{k} \)
Gracias por tu solución también, no he dado el tema que sea pero parece bastante mas rápido que el método de energías :laugh:
Hoy no es mi día con la física, creo que deberé repasar todos los temas desde cinemática (tengo prueba en unas semanas y me esta yendo fatal jeje)
Saludos y gracias a todos por la ayuda,
Franco.
Es relativamente más sencilla la obtención de la solución, pero hay que asumir ciertas consideraciones adicionales, que a mi juicio seria conveniente justificar.
1ª que se trata de un movimiento armónico simple ( aunque puede parecer bastante evidente).
2ª justificar el nuevo punto de equilibrio y la amplitud.
Una justificación que a mi en principio me valdría ( todo depende del grado de detalle o rigor que se pida)
Es entender que el movimiento de la masa sería el mismo que el de una masa unida a un resorte sin la fuerza de la gravedad, es decir la fuerza gravitatoria solo afectaría a que la nueva "longitud natural" sería L más lo que se estira debido al peso de la masa colgante.
Imaginemos que tenemos la masa en equilibrio de fuerzas ( en reposo) con el resorte , debido al peso el resorte se estiraría una longitud \( \Delta L_{eq} \) respecto de la original L. Por tanto la nueva posición de equilibrio será: \( x_{eq}=L+\Delta L_{eq} \)
Por Newton: \( K\Delta L_{eq}=mg\Rightarrow{}\Delta L_eq=\displaystyle\frac{mg}{k}=b \)
A partir de aquí se puede entender que el efecto de la gravedad ya esta incluida en este estiramiento "b" que se compensa con la fuerza elástica, cualquier estiramiento o compresión adicional desde esta nueva posición de equilibrio se considera como si fuera un resorte con masa M, (SIn gravedad) que se estira o comprime desde su nueva posición natural \( l+b \)
Entonces Richard, lo que asume es que se trata de un m.a.s.( movimiento armónico simple) en torno a \( l+b \), Calcula la amplitud como
la diferencia entre la nueva posición de equilibrio y la inicial: \( A= l+b-\dfrac l2=\dfrac l2+b \) , para saber la posición más baja le suma a la nueva posición natural la amplitud. \( x_{máx}=l+b+b+\dfrac l2=2b+\dfrac 32 l \)
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Si queremos hacerlo más riguroso.
Partimos de la ec. diferencial del movimiento (leyes de Newtón)
\( mg-k(x-l)=m\dfrac{d^2x}{dt^2} \) : llamo por comodidad \( y=x-l \) y \( w^2=\displaystyle\frac{m}{k} \), llegamos a:
\( y+w^2\dfrac{d^2y}{dt^2}=\displaystyle\frac{mg}{k}=b \)
se trata de una e.d.o. de no homogénea de 2º grado.
La solución general será: la general de la homogénea más una solución particular. ( en este caso puede la particular ser la del estado estacionario si \( \dfrac{d^2y}{dt^2}=0 \)) .
\( y=y_h+y_p \)
Por ello \( y_p=b \)
La homogénea \( y_h=A\cos wt + B\,\sen wt \)
Con las condiciones iniciales \( x_o=\dfrac l2\rightarrow{}y_o=-\dfrac l2 \) y \( \dfrac{dx_o}{dt}=\dfrac{dy_o}{dt}=0 \)
Llegamos a: \( x-l=-A\cos(wt)+b \) , con \( A=\displaystyle\frac{1}{2}l+b \)
En resumen: \( x=\left({\dfrac{1}{2}l+b}\right)\cos(wt+\pi)+ \displaystyle\frac{mg}{k}+l \)
Como los valores máximos y mínimos del coseno son +1 y -1
\( x_{max}=l+A+b=l+\dfrac{1}{2}l+b+b=\dfrac{3}{2}l+ 2b \)
\( x_{min}=l-A+b=l-\dfrac{1}{2}l-b+b=\dfrac{1}{2}l \)
Saludos.
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Bajo mi punto de vista, la solución energética es un poco más "complicada" de obtener, aunque necesita solo asumir como cierta la conservación de la energía, que es bien conocida y ya esta.
En cambio Richard parte de la solución de la ecuación diferencial, o al menos asume que se trata de un m.a.s y también asume las nuevas posiciones de equilibrio.
Entonces en la primera opción necesitas asumir menos condiciones, en la segunda yo no exigiría ( en principio) el rigor de resolver la ec. diferencial , pero si al menos hacer una justificación física de por que se trata de un m.a.s. y justificar la amplitud y sobre todo de la nueva longitud natural (la primera que expuse)
Saludos.
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Hola a todos, totalmente de acuerdo con la explicación del problema robinlambada , el eunicido dice
Si se suelta la caja, ¿a qué distancia abajo del techo llegará por primera vez al reposo?
que otro movimiento que no sea un MAS podríamos entonces suponer, al hacerlo estariamos asumiendo la intervención de otras interacciones que no se mencionan, solo que se deja libre. Las fuerzas que actúan son la elástica y la gravitacional. por supuesto me base en que la teoría MAS habia sido al menos leida.
Así que asumí lo lógico y conocido en temas de física con resortes. Si tomas lagrangianos estarás yendo por el camino de las energías. la resolución del sistema de ED de 2do grado también es la solución del MAS, así que estas asumiendo lo mismo que yo directa e implícitamente.