Hola
Un intento nuevo.
Mal.
1) Que \( \dfrac{nDE}{E-1} \) sea entero NO te permite deducir que \( D/(E-1) \) sea entero. Lo único que puedes afirmar es que \( nD/(E-1) \) . Por tanto no puedes deducir que necesariamente \( a^n+b^n \) sea múltiplo de \( n \).
2) En el caso \( n=3 \) (y lo análogo para todos los demás). De:
\( \dfrac{3^3h^3}{3k}=3^2k^2-3ab \)
queda:
\( abk=3(k^2-h^3) \)
Tu escribes de ahí que:
\( ab=3\left(k-\dfrac{h^3}{k}\right) \)
y afirmas que \( ab \) es múltiplo de \( 3 \).
Pero NO es cierto que necesariamente \( h^3/k \) tenga que ser entero. Lo que es entero es \( 3h^3/k \) que no es lo mismo. Por ejemplo si \( k=3w \) entonces te quedaría:
\( 3abw=3(9w^2-h^3) \)
\( abw=9w^2-h^3 \)
y no se deduce que \( ab \) sea múltiplo de \( 3 \).
Saludos.