[simpleimpar]

 
 Hola

 Un nuevo intento

 Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Está mal: no hay ningún motivo por el cuál la solución más pequeña tenga que cumplir \( a+b-c=2 \) y no cualquier otro número par. A lo mejor la solución más pequeña que existe tiene ese valor igual a mil millones.

Saludos.

[simpleimpar]

  Hola.

  Un intento nuevo.

  Saludos.
 

[Luis Fuentes]

Hola

  Un intento nuevo.

Mal.

1) Que \( \dfrac{nDE}{E-1} \) sea entero NO te permite deducir que \( D/(E-1) \) sea entero. Lo único que puedes afirmar es que \( nD/(E-1) \) . Por tanto no puedes deducir que necesariamente \( a^n+b^n \) sea múltiplo de \( n \).

2) En el caso \( n=3 \) (y lo análogo para todos los demás). De:

\( \dfrac{3^3h^3}{3k}=3^2k^2-3ab \)

queda:

\( abk=3(k^2-h^3) \)

Tu escribes de ahí que:

\( ab=3\left(k-\dfrac{h^3}{k}\right) \)

y afirmas que \( ab \) es múltiplo de \( 3 \).

Pero NO es cierto que necesariamente \( h^3/k \) tenga que ser entero. Lo que es entero es \( 3h^3/k \) que no es lo mismo. Por ejemplo si \( k=3w \) entonces te quedaría:

\( 3abw=3(9w^2-h^3) \)
\( abw=9w^2-h^3 \)

y no se deduce que \( ab \) sea múltiplo de \( 3 \).

Saludos.

[simpleimpar]

  Hola
  Posible respuesta.
  Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

  Hola
  Posible respuesta.
  Saludos.

 Cuando llegas a \( (a+b)(a^n+b^n-c^n)=mn \) lo haces porque deduces que (a+b)(a^n+b^n-c^n)=mn es múltiplo de \( n \). Pero es que...¡claro qué lo es porque estamos suponiendo que \( a^n+b^n-c^n=0 \))!. Nada impide que \( m=0 \).

 Tu sin embargo lo que pones es pasar de:

\( (a+b)(\underbrace{a^n+b^n-c^n}_0)=mn \) (1)

a

\( \cancel{\dfrac{a+b}{0}=mn}\qquad\qquad a+b=\dfrac{mn}{0} \) (2)

 y dices que eso no es admisible en ecuaciones diofánticas. Lo que no está bien es pasar de (1) a (2) porque no se puede dividir por cero. Y por otra parte (1) es perfectamente pausible si \( m=0 \).

Saludos.

CORREGIDO

[simpleimpar]

  Hola

  \( m \) es entero positivo.
 
  Es \( (a+b)(a^n+b^n-c^n)=m.n  \), o sea, \( a+b=\displaystyle\frac{m.n}
  {a^n+b^n-c^n} \)

  Supongo \( a^n+b^n-c^n=0 \)
 
  Pongo \( a+b=\displaystyle\frac{m.n}{0} \) y no \( \displaystyle\frac{a+b}

  {0}=m.n \) como dices tu.

  Si es \( a+b=\infty \), como madmito yo, \( a \) o \( b \) deberá ser igual a \( \infty \) y
 
  la solución no será de enteros positivos como se supone.

  Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

  \( m \) es entero positivo.

¿Por qué?.
 

  Es \( (a+b)(a^n+b^n-c^n)=m.n  \), o sea, \( a+b=\displaystyle\frac{m.n}
  {a^n+b^n-c^n} \)

  Supongo \( a^n+b^n-c^n=0 \)

Si supones que \( a^n+b^n-c^n=0 \) NO puedes dividir por \( a^n+b^n-c^n \).
 

  Pongo \( a+b=\displaystyle\frac{m.n}{0} \) y no \( \displaystyle\frac{a+b}

  {0}=m.n \) como dices tu.

Si; eso fue una errata. No influye nada en el fondo de lo que digo. Ahora lo corrijo.

  Si es \( a+b=\infty \), como madmito yo, \( a \) o \( b \) deberá ser igual a \( \infty \) y
 
  la solución no será de enteros positivos como se supone

Olvídate de infinitos; no puedes dividir por cero.

En realidad la clave es que respondas justificadamente a esto:

  \( m \) es entero positivo.

¿Por qué?.

Saludos.

[simpleimpar]

 
  Si la ecuación indeterminada \( a^n + b^n = c^n \), con \( n \) simple, tiene solución primitiva, \( a, b, c, \) son tres
 enteros mayores qu \( n \), primos entre sí dos a dos, dos impares y uno par, el mayor es \( c \), y por tanto es \( a + b <
 2c. \).
 
  Como \( n \) es simple, \(  \), se satisfacen las congruencias módulo \( n \),
 
                      \( a^n = a + nA, b^n = b + nB, c^n = c + nC \),

 de las que se obtiene,

                      \( a + b - c= a^n + b^n - c^n + n( C - A - B)  \),

 o bien,

                      \( a + b - c = a^n + b^n -c^n + nd  \),

 y si es, \( a^n + b^n -c^n = 0  \), se tiene,

                      \( a + b -c = nd \),

 con el resultado dde que se satisface la desigualdad,

                      \( c < a +b < 2c \).                         (1)

  Como es \( a^n + b^n = c^n \), \( a + b  \) será divisor de \( c^n \), y \( a + b \) estará dado por potencias de exponentes menores o iguales que \( n \), de divisores de \( c \), y por tanto menores que \( c \). Ahora bien, los enteros del intervalo \( (c, 2c) \) son mayores que c y no pueden ser divisores de \( c \), por lo tanto, tampoco existen en el intervalo \( (c, 2c) \), divisores de \( c^n \), y \( a + b \), que según indica la desigualdad (1) debe pertenecer a dicho intervalo si la ecuación \( a^n + b^n = c^n \) tiene solución, no puede dividir a \( c^n \).

  En consecuencia la ecuación indeterminada\( a^n + b^n = c^n  \) con \( n \) simple impar, carece de soluciones en \( a, b, c \), enteros positivos.
                         

[Luis Fuentes]

Hola

  Como es \( a^n + b^n = c^n \), \( a + b  \) será divisor de \( c^n \), y \( a + b \) estará dado por potencias de exponentes menores o iguales que \( n \), de divisores de \( c \), y por tanto menores que \( c \). Ahora bien, los enteros del intervalo \( (c, 2c) \) son mayores que c y no pueden ser divisores de \( c \), por lo tanto, tampoco existen en el intervalo \( (c, 2c) \), divisores de \( c^n \), y \( a + b \), que según indica la desigualdad (1) debe pertenecer a dicho intervalo si la ecuación \( a^n + b^n = c^n \) tiene solución, no puede dividir a \( c^n \).             

 En el intervalo \( (c,2c) \) puede haber perfectamente divisores de \( c^n \). Por ejemplo en \( (15,30) \) está \( 25 \) que es divisor de \( 15^3 \).

 No me parece que se aun ejemplo difícil de encontrar. Creo que debes de ser más autocrítico con tus propias ideas.

Saludos.