[Fernando Moreno]

Hola. Ronda por mi cabeza un intento de demostración del UTF3 y 5 sobre anillos de enteros ciclotómicos que puede estar mal y prefiero preguntar por el paso que creo más comprometido antes de escribir nada.    

Gracias de antemano por vuestra desinteresada ayuda, 

Supongo en el anillo de los enteros de Eisenstein  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  para  \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \) ,  la raíz primitiva tercera de la unidad; la siguiente ecuación:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  donde  \( \alpha,\beta,\gamma \)  son coprimos entre sí. 

Como  \( -\gamma^3=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta) \)  -y- es claro que  \( \alpha+\beta \)  -y-  \( (\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta \)  son coprimos salvo por  \( 3 \) ;  entonces es cierto que  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{3} \)  es una tercera potencia perfecta.  Por tanto:  \( \dfrac{\alpha+\beta}{\omega\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{-\omega^2\lambda^2} \)  serán dos cubos perfectos en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) . 

Mis dudas surgen sobre todo en el siguiente paso. Tengo que:  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{-\omega^2\lambda^2}=\dfrac{(\alpha+\beta\omega)(\alpha+\beta\omega^2)}{-\omega^2\lambda^2} \) .  Y ahora establezco que  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda} \)  son también dos cubos perfectos.  En puridad, este  \( -\omega^2 \)  en el denominador del segundo factor, podría estar en el primero ó podrían estar en los dos denominadores:  \( \pm\omega \) .  El porqué lo pongo en uno y no en otro es porque pienso que si pongo la unidad real, en este caso:  \( (\pm 1) \) , en el primer factor y desplazo la unidad imaginaria al último, entonces obtengo lo que busco. 

Pongo un ejemplo para explicarme mejor. Tenemos que  \( -144=-3^2\cdot 4^2 \) .  En  \( \mathbb{Z}(i) \)  será, ó :  \( i^2 144=i 3^2\cdot i 4^2 \) ,  donde a la derecha de la igualdad no tengo ningún cuadrado; ó es:  \( i^2 144=3^2\cdot i^24^2 \) .  Donde ahora sí tendría dos cuadrados:  \( 3^2 \)  -e-  \( i^24^2 \) .     

¿Cómo lo veis?

Un saludo 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola. Ronda por mi cabeza un intento de demostración del UTF3 y 5 sobre anillos de enteros ciclotómicos que puede estar mal y prefiero preguntar por el paso que creo más comprometido antes de escribir nada.    

Gracias de antemano por vuestra desinteresada ayuda, 

Supongo en el anillo de los enteros de Eisenstein  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  para  \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \) ,  la raíz primitiva tercera de la unidad; la siguiente ecuación:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  donde  \( \alpha,\beta,\gamma \)  son coprimos entre sí. 

Como  \( -\gamma^3=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta) \)  -y- es claro que  \( \alpha+\beta \)  -y-  \( (\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta \)  son coprimos salvo por  \( 3 \) ;  entonces es cierto que  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{3} \)  es una tercera potencia perfecta.  Por tanto: \( \dfrac{\alpha+\beta}{\omega\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{-\omega^2\lambda^2} \)  serán dos cubos perfectos en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .

No veo claro porque el término en rojo dices que es un cubo; aunque probablemente eso sea ceguera mía.

Mis dudas surgen sobre todo en el siguiente paso. Tengo que:  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{-\omega^2\lambda^2}=\dfrac{(\alpha+\beta\omega)(\alpha+\beta\omega^2)}{-\omega^2\lambda^2} \) .  Y ahora establezco que  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda} \)  son también dos cubos perfectos.  En puridad, este  \( -\omega^2 \)  en el denominador del segundo factor, podría estar en el primero ó podrían estar en los dos denominadores:  \( \pm\omega \) .  El porqué lo pongo en uno y no en otro es porque pienso que si pongo la unidad real, en este caso:  \( (\pm 1) \) , en el primer factor y desplazo la unidad imaginaria al último, entonces obtengo lo que busco.

 

Yo no acabo de ver ningún motivo para que el denominador puedas repartirlo en los dos factores que pretendes que sean cubos a conveniencia. Y otra cosa. ¿Se supone qué sabemos si \( \alpha+\beta w \) es divisible por \( \lambda \)? ¿Se supone que ese cociente es otro entero de Eiseinstein?

Saludos.

P.D. No tomes mis preguntas necesariamente como críticas implícitas; es decir pregunto cosas porque no las veo obvias, al menos a vuelapluma. Si quiero afirmar que algo está mal lo digo explícitamente.

[Fernando Moreno]

Hola Luis, gracias por tus comentarios. Me sirven

Hola. Ronda por mi cabeza un intento de demostración del UTF3 y 5 sobre anillos de enteros ciclotómicos que puede estar mal y prefiero preguntar por el paso que creo más comprometido antes de escribir nada.    

Gracias de antemano por vuestra desinteresada ayuda, 

Supongo en el anillo de los enteros de Eisenstein  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  para  \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \) ,  la raíz primitiva tercera de la unidad; la siguiente ecuación:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  donde  \( \alpha,\beta,\gamma \)  son coprimos entre sí. 

Como  \( -\gamma^3=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta) \)  -y- es claro que  \( \alpha+\beta \)  -y-  \( (\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta \)  son coprimos salvo por  \( 3 \) ;  entonces es cierto que  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{3} \)  es una tercera potencia perfecta.  Por tanto: \( \dfrac{\alpha+\beta}{\omega\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{-\omega^2\lambda^2} \)  serán dos cubos perfectos en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .

No veo claro porque el término en rojo dices que es un cubo; aunque probablemente eso sea ceguera mía.

\( \dfrac{\alpha+\beta}{\omega\lambda}\cdot\dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{-\omega^2\lambda^2}=-\dfrac{\gamma^3}{\lambda^3} \) .  Es una cuestión de unidades, si  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{\lambda^2}=-\omega^2\mu_1^3 \) ,  entonces  \( \dfrac{\alpha+\beta}{\lambda}=\omega\mu_2^3 \) .  Se puede demostrar que  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{\lambda^2} \)  -y-  \( \dfrac{\alpha+\beta}{\lambda} \)  son coprimos.

Mis dudas surgen sobre todo en el siguiente paso. Tengo que:  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{-\omega^2\lambda^2}=\dfrac{(\alpha+\beta\omega)(\alpha+\beta\omega^2)}{-\omega^2\lambda^2} \) .  Y ahora establezco que  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda} \)  son también dos cubos perfectos.  En puridad, este  \( -\omega^2 \)  en el denominador del segundo factor, podría estar en el primero ó podrían estar en los dos denominadores:  \( \pm\omega \) .  El porqué lo pongo en uno y no en otro es porque pienso que si pongo la unidad real, en este caso:  \( (\pm 1) \) , en el primer factor y desplazo la unidad imaginaria al último, entonces obtengo lo que busco.

 

Yo no acabo de ver ningún motivo para que el denominador puedas repartirlo en los dos factores que pretendes que sean cubos a conveniencia. Y otra cosa. ¿Se supone qué sabemos si \( \alpha+\beta w \) es divisible por \( \lambda \)? ¿Se supone que ese cociente es otro entero de Eiseinstein?

Sí, es múltiplo de  \( \lambda \) ,  eso no es problema. He intentado muchas cosas para tener un fundamento a la hora de repartir los denominadores para obtener cubos perfectos pero infructuosamente. Es una lástima, salía un UTF5 de dulce

P.D. No tomes mis preguntas necesariamente como críticas implícitas; es decir pregunto cosas porque no las veo obvias, al menos a vuelapluma. Si quiero afirmar que algo está mal lo digo explícitamente.

Para nada. Tú respuesta ha sido rápida y perfecta. Quería ver cómo lo veía un matemático y ahora ya lo sé. Lujo de Foro. Un saludo