Autor Tema: Comentarios de la parte de Lógica de Primer Orden del libro de Ivorra

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04 Febrero, 2017, 02:03 pm
Respuesta #10

Carlos Ivorra

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Remarco en azul lo que me parece más importante de ese párrafo. Me pregunto si los estudiosos de dichas lógicas tienen claro que,  todo lo que razonan sobre lógicas alternativas, lo hacen, psicológicamente e instintivamente, mediante la lógica bivaluada clásica.

Cuando algunas personas se lanzan al juego de pensar en las posibilidades de lógicas alternativas, lo que me parece honesto de hacer es que, en verdad,
cambien completamente su reacción psicológica, instintiva, y que hagan el intento de razonar "de fábrica" con una lógica que no sea la clásica.

La pregunta es interesante, aunque obviamente no podemos hacer nada por contestarla. Es lo mismo que plantearse si alguien podría ver el espacio que nos rodea y concebirlo en términos de la geometría relativista en lugar de en términos de la geometría euclídea o, un caso más simple y sobre el que sí que se podría experimentar: si sería posible enseñar análisis de una variable a un alumno sin hablarle de épsilons y deltas, sino estrictamente en términos de análisis no estándar, de modo que las demostraciones (rigurosas) con infinitésimos le resultaran naturales y los épsilons le resultaran artificiosos. En la práctica, sospecho que todo el que razona con infinitésimos tiene en la cabeza como guía lo que haría con épsilons.

Citar
A no ser que llames "algoritmo" a "comprobar que el 4 es suma de dos primos, y que el 6 también lo es, etc." Yo a eso no lo llamaría algoritmo, porque no se acaba nunca.

Pues entonces tengo que rectificarme, y llamarle mejor un "proceso".

Cuando se definen las Máquinas de Turing, se deja abierta la posibilidad de que el proceso no termine nunca. Creí entender del capítulo 7, en la tesis de Church, que un Algoritmo y una Máquina de Turing son lo mismo, y que conviene dejar abierta la posibilidad de que haya Máquinas de Turing cuyo proceso no acaba nunca.

Cierto, aquí no me expresé yo bien. Tienes razón al considerar como algoritmo lo que hace una máquina de Turing al calcular las cifras de \( \pi \) sin parar nunca. Igualmente, una máquina de Turing que vaya comprobando que el 4 es suma de dos primos, y el 6 también, etc. está ejecutando un algoritmo. Cuando dije que "yo no llamaría a eso algoritmo" debí decir que "yo no llamaría a eso un algoritmo que resuelve la conjetura de Goldbach", porque si es verdadera no nos permite concluir nada. Era un ejemplo de que "no tenemos un algoritmo para comprobar si la sentencia que afirma la conjetura de Goldbach es verdadera o falsa", porque lo de ir comprobando el 4, el 6, etc. es un algoritmo, pero no un algoritmo que cumpla esa función.

Lo que quiero vislumbrar aquí es que el párrafo (3), que se exige al modelo natural de toda teoría aritmética, es algo más general que un algoritmo.

Cierto. Aunque no está de más recalcar que, según la filosofía de cada cual, habrá quienes nieguen que tenga sentido hablar metamatemáticamente de propiedades no algorítimicas en los naturales o que pongan el listón un poco más arriba o un poco más abajo. Por eso hay quien niega que la existencia del modelo natural sea una prueba de la consistencia de los axiomas de Peano.

Pero no soy capaz de defender posturas ajenas que —subjetivamente— me parecen actitudes arbitrarias.

Citar
La expresión "un algoritmo para determinar si una propiedad tiene sentido" me desconcierta. Un algoritmo podría servir para determinar si una propiedad se cumple o no, pero no sé qué tendría que hacer un algoritmo para comprobar que una propiedad tiene sentido.

A no ser que llames "algoritmo" a "comprobar que el 4 es suma de dos primos, y que el 6 también lo es, etc." Yo a eso no lo llamaría algoritmo, porque no se acaba nunca.

Sin afán de discutir por discutir,
pero no veo problema en redefinir un poco las Máquinas de Turing para aceptar algunas respuestas de longitud infinita.

Sí, sí, como ya te he dicho, tienes razón en eso. Olvida mi objeción.

Por ejemplo, dado un procedimiento que genera la lista sucesiva de dígitos del número \(\pi\), si se asegura que la Máquina de Turing escribe cada dígito en una porción de la cinta sobre la que en pasos posteriores nunca se vuelve a posar el cabezal sobre dicha porción, entonces los dígitos quedarían en la cinta impresos de izquierda a derecha, digamos, en forma sucesiva (quizás separados por un signo especial, como el típico espacio en blanco), y algún proceso externo podría ir tomando esos dígitos a medida que aparecen, y ahcer algo útil con ellos.

Sí, y todo el mundo está de acuerdo en que el proceso que genera las cifras de \( \pi \) es un algoritmo. Nunca quise decir lo contrario.

La razón por la que quiero quitar infinitas variables es para que las "valoraciones" estén sin lugar a dudas y siempre bien definidas.

Ya. De eso hablamos más abajo.

Agregando comentarios de puro gusto,
resulta que el método científico obliga a brindar al menos a un colega distinto que uno mismo una versión impresa de la demostración de un Teorema a fin de que éste la verifique.
Para imprimir una demostración cualquiera, no podemos emplear más que el número de partículas del Universo.

Si el Universo es finito, podemos tomar su número de partículas como el valor N del número de variables en una teoría matemática, y nadie se vería perjudicado por tal convención.

Sin embargo, si por algún motivo se precisaran más variables,
entonces habría que dar algún rodeo en los razonamientos para justificar una demostración que, obligadamente, tendrá que darse de modo no del todo formal,
pero convencer a los demás de que,
aunque no es posible transcribirla por escrito, aún así es formalizable y por tanto correcta.

O sea, no quedaría otra opción que conformarse con "la idea de la demostración".  >:D

Al obtener una demostración así (sin agregar variables innecesariamente, sino sólo por mera necesidad), el formalismo se volvería una ficción.

Con esto estás entrando en la distinción entre una demostración "teórica" y una demostración "que quepa en el universo". El problema lo tienes igualmente si cambias las demostraciones por números naturales. En teoría existen infinitos números naturales, igual que existen infinitas demostraciones a partir de los axiomas de Peano, pero es obvio que en el Universo sólo "caben" (en cualquier sentido razonable que quieras dar a la palabra "caber") un número finito de ellos. ¿Qué tenemos que pensar de todos los demás? Hay números naturales que no se pueden escribir sobre ningún papel (incluso con las abreviaciones que permiten las operaciones aritméticas) y demostraciones que no caben en ningún papel. Incluso podríamos hablar de dos números naturales que "caben" en el Universo cuya suma "no cabe" en el Universo. ¿Tendríamos que concluir que hay números que no se pueden sumar?

En particular, nada impide en teoría que una demostración pueda requerir más variables de las que caben en el Universo. Obviamente, el "teorema" demostrado por dicha prueba excede por completo nuestro alcance, pero eso no hace conveniente poner un límite al número de variables que de vez en cuando nos hará tropezar con el problema de que, en un argumento teórico, tengamos que contemplar el caso de que no queden más variables que añadir para continuar una prueba. (Sobre esto me pides luego un ejemplo. Te lo pongo allí.)

Si hacemos una metametateoría, en donde ahora \(s,t,\alpha\) son los "signos del lenguaje" y sus "valoraciones" son ahora los términos y/o fórmulas de \(\mathcal L\),
entonces tendríamos una teoría formal sobre la metamatemática.

El hecho de que esta metametateoría no se mencione explícitamente, pero que es posible y que, de hecho, los signos \(s,t,\alpha\) se están usando realmente sobre el papel a fin de cuentas, es lo que me hace decir que hay una formalización encubierta.

Sí, lo que estás diciendo ahí es que toda la metamatemática es formalizable. Una gran parte de ella (toda la parte sintáctica y una parte modesta de la parte semántica) es formalizable en la mera aritmética de Peano, y toda ella es formalizable en cualquier teoría de conjuntos.

Quizá te resulte orientador sobre esto echar una ojeada, aunque sea superficial, al capítulo VIII de mi libro (para entrar en él con detalle necesitarás algunos capítulos anteriores, pero una mera ojeada te puede valer para hacerte una idea de que ahí se hace exactamente lo que dices que "no se menciona explícitamente"). El problema es que para formalizar la metamatemática necesitamos una teoría formal en la que formalizarla, pero para construir esa teoría necesitamos algo de metamatemática.

No recuerdo ningún razonamiento que obligue a considerar una variable "nueva".
¿Alguno que tengas a mano?

Pues, por ejemplo, si en un momento dado tienes \( \bigwedge x\,\alpha(x) \) y necesitas eliminar el particularizador, pero resulta que ya estás usando la variable \( x \) para otra cosa, necesitarás introducir una nueva variable para escribir \( \alpha(y) \) (que es lo que hace un matemático cuando dice "tomemos un \( y \) que cumpla \( \alpha(y) \), pero no lo llamo \( x \) porque ya estoy llamando \( x \) a tal otra cosa".

De todos modos, no tienes más que considerar una demostración "larga" cualquiera y fijarte en cómo van apareciendo y desapareciendo variables según las necesidades del argumento. Es verdad que en muchos casos las variables se podrían "reciclar", en el sentido de que, cuando ya hemos probado algo usando ciertas variables auxiliares, podríamos emplearlas de nuevo para probar otra cosa, pero, aun introduciendo todas las medidas posibles de "ahorro" de variables, nada te garantiza que una demostración no pueda requerir más variables de las que aparecen en la concluisión a la que quieres llegar, y el exceso de variables no puedes acotarlo en general.

Nota aparte: Lo que puse del \(2^N\) es una estupidez sin sentido. En realidad lo correcto es decir que, suponiendo que el modelo \(M\) está bien definido, al usar sólo \(N\) variables, basta considerar lo que significa dar una valoración cuyo "dominio" es un conjunto de \(N\) elementos (las variables del lenguaje formal) y cuyo "codominio" es el universo \(M^N\), el cual está definido, por ser un producto cartesiano finito de conjuntos (informales) bien definidos...

Creo que entendí desde el principio lo que querías decir y no me fijé en cómo estaba expresado. En efecto, si sólo tienes \( N \) variables, las valoraciones son sucesiones de \( N \) objetos del universo del modelo. Lo que te decía a este respecto en mi respuesta anterior es que tienes razón en recelar de las valoraciones con dominio infinito, por el problema de qué pasa con posibles "valoraciones no bien definidas", pero que eso lo puedes evitar sin necesidad de limitar el número de variables. Sólo necesitas (si te resulta más satisfactorio así) definir una valoración como un criterio que asigna a un número finito de variables del lenguaje unos objetos del universo del modelo. Con esa definición de valoración todos los resultados que se demuestran sobre valoraciones valen igualmente, sin más que pequeños ajustes técnicos en las pruebas o en sus hipótesis, para garantizar que las valoraciones consideradas están definidas sobre todas las variables en las que es necesario que lo estén.

Pues tu enfoque me parece más conveniente, sistemático.

(Alguna vez en la vida tenía que tirarte una flor.)  8^)

Pues en este caso es claramente inmerecida. Aunque mi explicación superficial sobre cómo se puede trabajar con una definición más simple de sustitución (que deje a cargo del usuario no emplearla mal) puede dar la sensación de que es un enfoque chapucero, lo cierto es que es igualmente sistemático. Yo prefiero la alternativa que he adoptado, porque complica ligeramente la definición de sustitución y la demostración de sus propiedades básicas, pero luego permite usar el concepto con total libertad. La alternativa simplemente obliga a que todos los enunciados que involucren una sustitución tengan una hipótesis del tipo "sea \( \alpha(x) \) una fórmula y \( t \) un término apto para sustitución en \( \alpha \)", donde lo de "apto para sustitución" es un concepto definible con precisión que viene a decir que si cambiamos \( x \) por \( t \) no pasará ninguna de las cosas raras que previene la definición de sustitución que he adoptado yo. Con el enfoque que he adoptado, te ahorras las hipótesis de "apto para sustitución", y ésa es la principal ventaja, pero, aparte de eso, la opción alternativa es igualmente rigurosa.

Igual me queda el sabor de que es bueno notar que gracias al lenguaje formal y sus axiomas, es posible generar en forma sistemática toda una familia de relaciones bien definidas en el modelo en cuestión. Es decir, se pone de manifiesto una rica estructura en el "universo informal" que vive en territorio semántico, que de otro modo quizás uno no notaría que está ahí.

Cierto.

Pero si ahora añadimos propiedades que hablan de cosas que no son números naturales
¿no amplía esto el "cosmos" de las propiedades bien definidas de los números naturales?

Ahora ya entiendo a qué te referías y, en efecto, todo es como dices.

No obstante, "el trabajo" de las Máquinas de Turing se hace sobre "lenguajes formales", transformando una cadena de signos en otra, y nunca dando respuestas concretas acerca del terreno semántico.

Cierto.

Citar
Aquí sí que me has despistado del todo. Se supone que hablas de la paradoja de Russell en el capítulo 3, pero ¿seguro que no te refieres a la paradoja de Skolem en el capítulo 4?

Es cierto, perdón, me refiero a Skolem.

Entonces vuelvo sobre el párrafo en cuestión:

Citar
El hecho de que se pueda razonar informalmente en una teoría axiomática T, acerca de  una propiedad cualquiera P en un universo, no significa que esta propiedad sea expresable formalmente.

Al introducir nuevos axiomas en la teoría T podría intentar paliarse ese problema, pero es interesante observar el caso expuesto en el texto de la paradoja de Skolem, en el que se exhibe una biyección entre ℕ y \( \mathcal P\mathbb N \), pero que es invisible para la teoría formal T.

Imagino que se podrían agregar axiomas nuevos, dando cuenta de la existencia de objetos de un tipo diferente al de los conjuntos típicos, una categoría diferente, y hacer formal la cuestión.

Sí, lo que conjeturas es extremadamente agudo. Un ejemplo de propiedad P que podemos discutir en un modelo de la aritmética de Peano y que no es formalizable en ella es la propiedad de "ser estándar", es decir, de ser uno de los números naturales denotados por los designadores 0, 1, 2, 3... En un modelo de AP tienen que estar necesariamente todos los números estándar, pero también puede haber otros objetos adicionales, que serían números no estándar de ese modelo, pero la distinción entre ser estándar y no ser estándar no es expresable en AP. No obstante, tal y como insinúas, podemos introducir en el lenguaje formal un relator "ser estándar" y dar unos axiomas que postulen la existencia de números no estándar y regulen sus propiedades, y lo que obtenemos así es una versión (débil, si partimos de AP, pero más fuerte si partimos de una teoría de conjuntos) del análisis no estándar. Como dices, introduciendo una categoría nueva de objetos, los números (o incluso conjuntos, si partimos de una teoría de conjuntos) no estándar, permite formalizar la distinción y hacer visibles los conjuntos no estándar.

04 Febrero, 2017, 02:30 pm
Respuesta #11

Carlos Ivorra

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Pues pongo el tema de Skolem aparte, porque es posible que no lo esté entendiendo.

Pues no. Lo que dices es totalmente exacto, lo has entendido perfectamente.

Luego hay una biyección (informal) en el universo \(U\), entre \(\mathbb N\) y el \(\mathcal P\mathbb N\) del modelo en cuestión.

Pero entonces se interpreta que dicha biyección no puede nunca representar un "conjunto", pues si pudiera, sería una función (formal) F biyectiva, absurdo.

Entiendo que la biyección (informal) mencionada no puede ser un elemento de \(U\), sino que sólo existe intuitivamente.

¿Qué me falta?

Nada. Está perfecto así como está. Vuelvo entonces sobre los pasajes que me hicieron cuestionar que entendías el asunto correctamente. Son dos:

Citar
Se habla de modelos numerables como dejando la puerta abierta a modelos que puedan no ser numerables, pero a su vez no está claro lo que esto quiere decir, ya que ahora se tiene que ℕ y \( \mathcal P\mathbb N \) son biyectables semánticamente.

Al leér esto me pareció una forma muy ingenua de expresarlo, pues parecías entender que existía un \( \mathcal P\mathbb N \) "de verdad" que resulta ser biyectable con \( \mathbb N \) semánticamente. Como si dijeras que el hecho de que \( \mathcal P\mathbb N \) es numerable, prueba que no hay conjuntos no numerables. En cambio, ahora dices perfectamente "el \( \mathcal P\mathbb N \) del modelo en cuestión".

Cuando la teoría de modelos se formaliza en la teoría de conjuntos, puedes tener modelos numerables y modelos no numerables de una teoría de conjuntos dada (ZFC, si quieres) y entre los modelos no numerables puede haber modelos en los que su \( \mathcal P\mathbb N \) correspondiente sea numerable (en el sentido de que exista una biyección con \( \mathbb N \) externa al modelo, interna sería siempre imposible) y otros para los que sea no numerable, luego la paradoja de Skolem no permite justificar que no puedan existir conjuntos no numerables, sino que es consistente con tal posibilidad (en la medida en que la teoría de conjuntos sea consistente).

Otra cosa es que yo no sabría explicar cómo hay que entender una afirmación informal sobre "la totalidad de los subconjuntos de \( \mathbb N \)" o sobre cualquier presunto conjunto no numerable, y por eso digo que "no conozco ningún conjunto no numerable", igual que no puedo imaginarme ningún cubo de cuatro dimensiones, a pesar de que pueda razonar sobre ellos por analogía con el caso tridimensional y disponga de una geometría axiomática que me permita razonar formalmente sobre ellos.

Cuando se demuestra que una teoría consistente tiene un modelo numerable, no se entra ni se sale en si puede haber también modelos no numerables en algún sentido. Eso ya dependerá de lo que cada cual esté dispuesto a asumir.

La otra frase que lió fue ésta:

Citar
En cualquier caso, si en ZFC se construye o exhibe un modelo no numerable de una teoría axiomática, ¿significa esto que hay un modelo no numerable desde el punto de vista informal de la metamatemática? Mmmmm... Yo diría que no, porque en este caso el concepto de biyección metamatemática estaría formalizado, y vendría a significar que no existe una biyección (metamatemática) entre ℕ y cierto modelo no numerable...

A la primera parte ya te respondí, pero la incluyo por si tiene relación con la segunda, que es la que sigo sin entender. En un principio pensé que el problema estaba en lo que habías entendido de la paradoja de Skolem, pero queda claro que la entiendes perfectamente, y yo sigo sin entender la última frase.

04 Febrero, 2017, 06:32 pm
Respuesta #12

argentinator

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Pues creo que yo tampoco entiendo què quise decir.

No recuerdo  si lo saqué de tu libro, pero la metamatemática se formaliza en ZFC.
Algo has mencionado al respecto en los resultados de incompletitud al decir que es imposible probar la consistencia de ZFC.

Estaba pues especulando con eso, aunque sin manejar seriamente el tema.

Si consideramos la versión formalizada en ZFC de la pqradoja de Skolem,
los modelos M de teorías aritméticas T son ahora  ciertos conjuntos U.
Sea U un conjunto que es modelo numerable de una teoría de conjuntos T.
Existen representantes N y Partes(N) en U, cuya extensión ha de ser nimerable.
Hay ahora una biyección visible en ZFC entre tales N y Partes(N).

Aunque me estoy mareando a mí mismo buscando una contradicción con el Teorema de Cantor de que X no biyecta con Partes(X), pues tal contradicción no existe.

04 Febrero, 2017, 07:40 pm
Respuesta #13

Carlos Ivorra

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No recuerdo  si lo saqué de tu libro, pero la metamatemática se formaliza en ZFC.

Sí, en efecto. En el capítulo VIII tienes la formalización de la parte sintáctica en una teoría más débil que AP, y en la sección 12.2 tienes la formalización de la teoría de modelos en ZF. Insisto en que echarle una ojeada, sin entrar en detalles, te podría resultar ilustrativo.

Si consideramos la versión formalizada en ZFC de la pqradoja de Skolem,
los modelos M de teorías aritméticas T son ahora  ciertos conjuntos U.
Sea U un conjunto que es modelo numerable de una teoría de conjuntos T.
Existen representantes N y Partes(N) en U, cuya extensión ha de ser nimerable.
Hay ahora una biyección visible en ZFC entre tales N y Partes(N).

No. Antes lo has dicho bien: entre N y Partes(N) en U, que no es lo mismo.

Los modelos más sencillos de ZFC son los modelos transitivos, que son los modelos M cuyo universo U cumple que si \( x\in U \) entonces \( x\subset U \), y en los que el relator de pertenencia se interpreta como la propia relación de pertenencia.

En esas condiciones, si \( N\in U \), el conjunto  Partes(N) en U es simplemente \( \mathcal PN\cap U \), y lo que tienes es una biyección visible en ZFC entre \( N \) y \( \mathcal PN\cap U \), pues ambos conjuntos son numerables, sin perjuicio de que en ZFC se demuestra que \( \mathcal PN \) no lo es, pero \( \mathcal PN \) es el conjunto de todos los subconjuntos de \( N \), mientras que \( \mathcal PN\cap U \) es el conjunto de todos los subconjuntos de \( N \) visibles en el modelo \( M \). El hecho de que el teorema de Cantor sea verdadero en M se traduce en que ninguna biyección entre \( N \) y \( \mathcal PN\cap U \) puede estar en \( U \).

Aunque me estoy mareando a mí mismo buscando una contradicción con el Teorema de Cantor de que X no biyecta con Partes(X), pues tal contradicción no existe.

En efecto, no existe.

04 Febrero, 2017, 09:35 pm
Respuesta #14

argentinator

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El universo F de las partes finitas de N cumpliría los Axiomas de esas teorias menos el Axioma del Par. Ahí es donde la pifiè...

Igual, ahora que miro el Axioma del Par:

\( \bigwedge x\bigwedge y\bigvee z\bigwedge u(u\in z\leftrightarrow u=x\vee u=y) \)

Me parece que interpretando z como el conjunto vacío se hace verdadera siempre esa sentencia. ??? ???

Error:  me pasé de rosca. Pasa en las mejores familias...




04 Febrero, 2017, 10:14 pm
Respuesta #15

Carlos Ivorra

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El universo F de las partes finitas de N cumpliría los Axiomas de esas teorias menos el Axioma del Par.

¿Pero con qué relación de pertenencia? ¿Qué subconjuntos finitos de N estás considerando como elementos de, digamos, \( \{1, 3, 8, 12\} \)?

No sé si caes en la cuenta de que no puedes considerar a los números naturales como elementos. Si tus "conjuntos" son los subconjuntos finitos de N, tienes que definir cuándo un subconjunto finito de N es elemento de otro subconjunto finito de N.

04 Febrero, 2017, 10:28 pm
Respuesta #16

argentinator

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El universo F de las partes finitas de N cumpliría los Axiomas de esas teorias menos el Axioma del Par.

¿Pero con qué relación de pertenencia? ¿Qué subconjuntos finitos de N estás considerando como elementos de, digamos, \( \{1, 3, 8, 12\} \)?

No sé si caes en la cuenta de que no puedes considerar a los números naturales como elementos. Si tus "conjuntos" son los subconjuntos finitos de N, tienes que definir cuándo un subconjunto finito de N es elemento de otro subconjunto finito de N.


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04 Febrero, 2017, 10:48 pm
Respuesta #17

Carlos Ivorra

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Pero no ibas tan desencaminado. Fíjate que a cada subconjunto finito de N le puedes asociar un número natural, a saber, a \( A=\{n_1,\ldots, n_k\} \) le puedes asociar el número \( N(A)=2^{n_1}+\cdots + 2^{n_k} \) (entendiendo que \( F(\emptyset)=0 \)). Así \( N \) es una biyección entre las partes finitas de N y N.

Si defines \( A\in^* B \) como \( N(A)\in B \), entonces, las partes finitas de N, con la relación \( \in^* \) son un modelo de ZFC menos el axioma de infinitud.