Pensando acerca de los números reales, me he dado cuenta de un pequeño problema que no sé cómo se arregla. Que haya modelos con "más" numeros reales que otro (siempre que diga "más" me estoy refiriendo a que si yo cojo el \( \mathbb{R} \) de mi modelo- u otro conjunto definible de mi modelo-, va a haber otro modelo con un \( \mathbb{R} \) que es superconjunto del mío, no a que tenga más cardinalidad necesariamente) . Pero claro (una vez fijada una unidad de medida, un origen y una linea en el espacio real y un sentido positivo de avance) se supone que yo puedo asignar a cada punto de esa linea un numero real. Esto ya me descarta muchos conjuntos \( \mathbb{R} \) y muchos modelos (aunque no sepa cuales son) de ZFC (o de NFA o de otra teoría de conjuntos en la que tenga un cuerpo ordenado completo inmerso en dicha teoría). Tampoco veo un problema aquí. Ahora bien, lo cierto es que entre todos los modelos de mi teoría de conjuntos con el mismo \( \mathbb{R} \) , hay modelos en los que hay "más" subconjuntos de \( \mathbb{R} \) que en otros (incluso aunque resolviesemos la hipotesis del continuo afirmativamente sospecho que esto seguiría pasando).
En realidad no hay que irse a los subconjuntos de una estructura como \( \mathbb{R} \) Pensando en los desarrollos decimales de los números en el intervalo [0,1] (en las secuencias infinitas numerables de 0´s y 1´s) tenemos el mismo problema con los subconjuntos de \( \mathbb{N} \), podemos asociar cada secuencia de 0´s y 1´s biunívocamente con un subconjunto de N como se hace habitualmente (un subconjunto de N tiene al número m si la secuencia correspodiente tiene un 1 en el lugar mº) , esté en el modelo que esté siempre hay un modelo con "más" subconjuntos de \( \mathbb{N} \) . La única vía de escape que veo es que haya ciertos conjuntos que siendo objetos de mi teoría de conjuntos no sean realmente colecciones (y haya un argumento que me determine claramente cuales son estos, aunque sea metamatemático y no sea expresable en mi lenguaje formal) , y que haya modelos "máximales" en el sentido de que aunque haya otro modelo con "más" subconjuntos de \( \mathbb{N} \) no haya otro modelo con más subconjuntos de \( \mathbb{N} \) de los aceptables metamatemáticamente como verdaderas colecciones. Incluso a lo mejor no hay una teoría matemática en un lenguaje formal que me recoja el concepto intuitivo de colección sin meter objetos "raros" que no tenga mucho sentido considerarlos colecciones.
Soy consciente de que este problema no es estrictamente matemático ( esto no invalida ZFC, ni NFA, ni ninguna teoría de conjuntos, en el sentido de que mi argumento no hace sospechar de la consistencia de nada, y al ser de primer orden, tampoco hace sospechar de la no existencia de modelos), pero si el argumento que planteo no tiene una solución satisfactoria ( aunque no sea en la linea que planteo), queda muy claro que estas teorías de conjuntos no consiguen en modo alguno capturar el concepto metamatemático tan claro (para mí al menos) de colección. A lo mejor escribo otro post sobre esto pero este ya se está extendiendo demasiado. Saludos
