[narun]

Saludos a todo el personal.
Esta es mi primera intervención en el foro y supongo que ya conocen los nervios del primer día.
En fin, creo que esto que cuelgo es la solución al problema de agosto pero....... tal vez haya pasado algo por alto.

Por favor, si no se entiende, comuníquenlo.

Un saludo


Perdón, había un error muy absurdo. Retiro el archivo y sigo intentándolo.

[teeteto]

Si {an} posee límite no nulo es trivial practicamente. El caso que {an} converja a cero no lo sé solventar aún.

[xhant]

Solo sabemos que la S an diverge, pero no podemos asegurar que exista Lim an.

[teeteto]

Una sucesión decreciente de números reales positivos siempre tiene límite.

[xhant]

Sea (*) bk = ak / (1 + kak). Observemos que ak decreciente implica que bk es decreciente.

Probemos si la serie bk es convergente entonces para todo e > 0, existe k0 tal que kbk < e para todo k > k0.

Como bk es convergente existe k1 tal que Suma(j>k1)bk < e/2, entonces para todo k > k1, (k - k1)bk < e/2, si tomamos k > 2k1, entonces -k1 > -k/2 y entonces kbk/2 < e/2, de donde kbk < e si k > 2k1 = k0.

Si tomamos e = 1/2, entonces existe k0 tal que kbk < 1/2, para k > k0. Remplazando bk usando (*) tenemos que kak / (1 + kak) < 1/2, de donde 1 - 1 / (1 + kak) < 1/2, de aqui finalmente 1 + kak < 2 si k > k0. Pero mirando (*) tenemos bk > ak/2, como bk es convergente ak es convergente, absurdo.

La verdad que no era tan terrible como parecía, igual me hizo hacer muchas cuentas. Para que sigan pensando, traten de demostrarlo sin usar la reducción al absurdo, a mi me salió pero muchísimo mas complicada y larga.