Hola
Tengo una cuantas dudas sobre la demostración del Lema de concentración-compacticidad. Podrían ayudarme?
Sea \( N\geq 3 \) y \( 2^{*} := 2N/(N - 2) \).
El espacio \( \mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N) := \left\lbrace u \in L^{2^{*}} (\mathbb{R}^N) : \nabla u\in L^2(\mathbb{R}^N)\right\rbrace \), con el producto interior \( \int_{\mathbb{R}^N} \nabla u\nabla v \), y la correspondiente norma \( \left( \int_{\mathbb{R}^N} |\nabla u|^2\right)^{1/2} \).
La constante óptima en la desigualdad de Sobolev viene dada por
$$S:= \underset{\begin{matrix}u\in\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N)\\ |u|_{2^*}=1\end{matrix}}{\inf} |\nabla u|_{2}^{2}>0.$$
Consideramos una sucesión minimizadora \( \left\lbrace u_n\right\rbrace\subset \mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N) \):
\begin{equation}
|u_n|_{2^*}=1,\quad |\nabla u_n|_{2}^{2}\rightarrow S, \quad n\rightarrow\infty
\end{equation}
Recurriendo si es necesario a una subsucesión, podemos suponer \( u_n\rightharpoonup u \) en \( \mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N) \), de modo que
$$|\nabla u|_{2}^{2}\leq \liminf_n |\nabla u_n|_{2}^{2}=S.$$
Por tanto, \( u \) es un minimizador siempre que \( |u|_{2^*}=1 \). Pero sólo sabemos que \( |u|_{2^*}\leq 1 \). En efecto, para cualquier \( v\in\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N) \), \( y\in\mathbb{R}^N \) y \( \lambda > 0 \), la función reescalada
$$v^{y,\lambda} (x):= \lambda^{(N-2)/2} v(\lambda x+y)$$
satisface
$$|\nabla v^{y,\lambda}|_{2}=|\nabla v|_{2},\quad | v^{y,\lambda}|_{2^*}=|v|_{2^*} .$$
Por lo tanto, el problema es invariante por traslaciones y dilataciones.
Definici[on: Sea \( \Omega \) un subconjunto abierto de \( \mathbb{R}^N \) y definamos
$$\mathcal{K}(\Omega) :=\left\lbrace u \in C(\Omega) : \text{supp}\, u\,\, \text{es un subconjunto compacto de } \Omega \right\rbrace ,$$
$$\mathcal{BC}(\Omega):=\left\lbrace u \in C(\Omega) : |u|_{\infty} := \sup_{x\in\Omega} |u(x)| < \infty \right\rbrace .$$
El espacio \( \mathcal{C}_0 (\Omega) \) es la clausura de \( \mathcal{K}(\Omega) \) en \( \mathcal{BC}(\Omega) \) con respecto a la norma uniforme. Una medida finita sobre \( \Omega \) es una función lineal continua sobre \( C_0 (\Omega) \). La norma de la medida finita \( \mu \) viene definida por
$$||\mu ||:= \underset{\begin{matrix}u\in \mathcal{C}_0 (\Omega)\\ |u|_{\infty}=1 \end{matrix}}{\sup} |\left\langle \mu , u\right\rangle | .$$
Denotamos por \( \mathcal{M}(\Omega) \) el espacio de medidas finitas sobre \( \Omega \) (\( \mathcal{M}^+ (\Omega) \) medidas finitas positivas). Una sucesión \( \mu_n \) converge débilmente a \( \mu \) en \( \mathcal{M}(\Omega) \), \( \mu_n \rightharpoonup \mu \), siempre que \( \left\langle \mu_n , u\right\rangle \rightarrow\left\langle \mu , u \right\rangle , \, \forall u \in \mathcal{C}_0 (\Omega) \).
Teorema:
1) Toda sucesión acotada de medidas finitas sobre \( \Omega \) tiene una subsucesión débilmente convergente.
2) Si \( \mu_n \rightharpoonup \mu \) en \( \mathcal{M}(\Omega) \) entonces \( \left\lbrace \mu_n\right\rbrace \) es acotada y \( ||\mu ||\leq \liminf ||\mu_n ||. \)
3) Si \( \mu \in \mathcal{M}^+(\Omega) \) entonces $$||\mu|| = \left\langle \mu , 1 \right\rangle = \underset{\begin{matrix}u\in \mathcal{BC} (\Omega)\\ |u|_{\infty}=1 \end{matrix}}{\sup} |\left\langle \mu , u\right\rangle | .$$
Lema de concentración-compacticidad:
Sea \( \left\lbrace u_n\right\rbrace\subset \mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N) \) una sucesión tal que
\begin{equation}
\begin{matrix}
u_n\rightharpoonup u & \text{en } \mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N),\\
|\nabla (u_n - u)|^2 \rightharpoonup \mu & \text{en } \mathcal{M}(\mathbb{R}^N),\\
|u_n -u|^{2^{*}}\rightharpoonup \nu & \text{en } \mathcal{M}(\mathbb{R}^N),\\
u_n\rightarrow u & \text{c.t.p. en } \mathbb{R}^N,
\end{matrix}
\end{equation}
y definimos
\begin{equation}
\mu_\infty :=\lim_{R\to\infty} \limsup_{n\to\infty} \int_{|x|\geq R} |\nabla u_n|^2\, ,\qquad \nu_\infty :=\lim_{R\to\infty} \limsup_{n\to\infty} \int_{|x|> R} | u_n|^{2^{*}}\, .
\end{equation}
Entonces
\begin{equation}
||\nu||^{2/2^{*}} \leq S^{-1}||\mu|| ,
\end{equation}
\begin{equation}
\nu_{\infty}^{2/2^{*}} \leq S^{-1} \mu_{\infty},
\end{equation}
\begin{equation}
\limsup_{n\to\infty} |\nabla u_n |_{2}^{2}= |\nabla u|_{2}^{2}+||\mu|| + \mu_{\infty},
\end{equation}
\begin{equation}
\limsup_{n\to\infty} | u_n |_{2^{*}}^{2^{*}}= |u|_{2^{*}}^{2^{*}}+||\nu|| + \nu_{\infty}.
\end{equation}
Ademas, si \( u=0 \) y \( ||\nu||^{2/2^{*}} = S^{-1}||\mu|| \), entonces \( \nu \) y \( \mu \) estan concentradas en un único punto.
Demostración:
1) Supongamos que \( u = 0 \). Eligiendo \( h \in\mathcal{D} (\mathbb{R}^N ) \).
Aplicando la desigualdad de Sobolev a la sucesión \( \{ u_n\} \)
$$\left( \int |hu_n|^{2^{*}}\, dx\right) ^{2/2^{*}}\leq S^{-1} \int |\nabla (hu_n)|^{2}\, dx .$$
Entonces
$$\mid \| \nabla (hu_n)\|_{2} -\| h\nabla u_n\|_{2}\mid \,\leq \|u_n \nabla h\|_2$$
Tomando \( \text{supp}(\nabla h)\subseteq K \), tenemos que
$$\int_{K} |u_n \nabla h|^2\; dx \,\leq \|\nabla h\| \int_K |u_n|^2 dx\rightarrow 0$$
ya que \( u_n \to 0 \) en \( L_{loc}^2 \).
Por lo tanto podemos escribir la desigualdad como
$$\left( \int |hu_n|^{2^{*}}\, dx\right) ^{2/2^{*}}\leq S^{-1} \int |h(\nabla u_n)|^{2}\, dx .$$
Ahora queremos considerar \( \mu \) y \( \nu \). Tenemos por hipótesis
$$|\nabla (u_n - u)|^2 \rightharpoonup \mu\;\;\text{en}\;\;\mathcal{M}(\mathbb{R}^N),$$
$$|u_n -u|^{2^{*}}\rightharpoonup \nu\;\;\text{en}\;\;\mathcal{M}(\mathbb{R}^N).$$
Combinando los resultados anteriores, podemos reescribir la ecuación como
\begin{equation}
\left( \int |h|^{2^{*}}\, d\nu \right) ^{2/2^{*}}\leq S^{-1} \int |h|^{2}\, d\mu .
\end{equation}
Entonces tenemos que
\begin{align*}
\left( \int |h|^{2^{*}}\, d\nu \right) ^{2/2^{*}}&\;\leq\; S^{-1} \int |h|^{2}\, d\mu \\
\underset{\begin{matrix} |h|_{\infty}=1 \end{matrix}}{\sup} |\left\langle \nu , h\right\rangle |^{2/2^{*}} &\;\leq\; S^{-1} \underset{\begin{matrix} |h|_{\infty}=1 \end{matrix}}{\sup} |\left\langle \mu , h\right\rangle | \\
\| \nu\|^{2/2^{*}}&\;\leq\;S^{-1}\|\mu\|
\end{align*}
Por lo tanto se verifica la primera desigualdad (\ref{eq4}).
2) Para desmostrar la segunda desigualdad del Lema.
Para \( R > 1 \), sea \( \psi_R \in C^1(\mathbb{R}^ N ) \) tal que \( \psi_R (x) = 1 \) para \( |x| > R+ 1 \), \( \psi_R (x) = 0 \) para \( |x| < R \) y \( 0\leq\psi_R (x)\leq 1 \) en \( \mathbb{R}^N \). Por la desigualdad de Sobolev tenemos
\begin{equation}
S^{1/2}\|\psi_R u_n\|_{2^{*}}\leq \|\nabla(\psi_R u_n)\|_2 \leq\|\nabla u_n \psi_R \|_2 +\| u_n\nabla \psi_R\|_2
\end{equation}
o lo que es lo mismo
\small {
$$ S^{1/2}\left( \int |\psi_R u_n|^{2^{*}}\, dx \right) ^{1/2^{*}}\leq \left( \int |\nabla u_n |^{2}|\psi_R |^{2}\, dx\right) ^{1/2} + \left( \int | u_n|^{2}|\nabla \psi_R |^{2}\, dx\right)^{1/2} .$$
}
Entonces
$$\mid \| \nabla (\psi_R u_n)\|_{2} -\| \psi_R\nabla u_n\|_{2}\mid \,\leq \|u_n \nabla \psi_R \|_2$$
Tomando \( \text{supp}(\nabla \psi_R)\subseteq K \), tenemos que
$$\int_{K} |u_n \nabla \psi_R|^2\; dx \,\leq \|\nabla \psi_R\|_\infty \int_K |u_n|^2 dx\rightarrow 0$$
ya que \( u_n \to 0 \) en \( L_{loc}^2 \).
Por lo tanto podemos escribir la desigualdad como
$$\left( \int |\psi_R u_n|^{2^{*}}\, dx\right) ^{2/2^{*}}\leq S^{-1} \int |\psi_R(\nabla u_n)|^{2}\, dx .$$
Tomando el límite superior a ambos lados de la desigualdad se obtiene
\begin{multline}
\limsup_{n\to\infty}\left( \int |\psi_R u_n|^{2^{*}}\, dx \right) ^{2/2^{*}}\leq S^{-1} \left( \limsup_{n\to\infty}\int | u_n|^{2}|\nabla\psi_R|^{2}\, dx\right) .
\end{multline}
Además, tenemos
$$\int_{|x|> R+1} |\nabla u_n|^{2}\, dx\leq \int_{\mathbb{R}^N} |\nabla u_n|^{2}\psi_R^{2}\, dx\leq \int_{|x|>R} |\nabla u_n|^{2}\, dx$$
y
$$\int_{|x|> R+1} | u_n|^{2^{*}}\, dx\leq \int_{\mathbb{R}^N} | u_n|^{2^{*}}\psi_R^{2^{*}}\, dx\leq \int_{|x|>R} |u_n|^{2^{*}}\, dx$$
Tomando el límite cuando \( R\to\infty \), tenemos que por la hipóesis (\ref{eq3}) se definen
$$
\mu_\infty :=\lim_{R\to\infty} \limsup_{n\to\infty} \int_{\mathbb{R}^N} |\nabla u_n|^2\psi_R^{2}\, dx,$$
$$ \nu_\infty :=\lim_{R\to\infty} \limsup_{n\to\infty} \int_{\mathbb{R}^N} | u_n|^{2^{*}}\psi_R^{2^{*}}\, dx .
$$
Combinando los resultados anteriores
\begin{align*}
\lim_{R\to\infty} \limsup_{n\to\infty} \int_{\mathbb{R}^N} | u_n|^{2^{*}}\psi_R^{2^{*}}\, dx &\leq S^{-1}\lim_{R\to\infty} \limsup_{n\to\infty} \int_{\mathbb{R}^N} |\nabla u_n|^2\psi_R^{2}\, dx\\
\nu_\infty \;\;&\leq S^{-1}\;\; \mu_\infty
\end{align*}
Verificando así \( \nu_{\infty}^{2/2^{*}} \leq S^{-1} \mu_{\infty} \).
3) Ahora queremos ver que \( \nu \) está concentrado en un solo punto. Para esto supongamos además que \( ||\nu||^{2/2^{*}} = S^{-1}||\mu|| \).
De la desigualdad de Hölder para \( h \in\mathcal{D} (\mathbb{R}^N ) \), y combinando con \( \left( \int |h|^{2^{*}}\, d\nu \right) ^{2/2^{*}}\leq S^{-1} \int |h|^{2}\, d\mu \)(\ref{eq8})
\begin{equation*}
\left( \int |h|^{2^{*}}\, d\nu \right) ^{1/2^{*}}\leq S^{-1/2}||\mu||^{1/N} \left(\int |h|^{2^{*}}\, d\mu \right) ^{1/2^{*}}.
\end{equation*}
Se deduce que \( \nu \leq S^{-2^{*}/2}||\mu||^{2/N-2}\mu \). Si lo combinamos con
\( ||\nu||^{2/2^{*}} = S^{-1}||\mu|| \) tenemos que
$$\nu = S^{-2^{*}/2}||\mu||^{2/N-2}\mu$$
y
$$\mu = S||\nu||^{-2/N}\nu.$$
A partir de (\ref{eq8}) tenemos que, para \( h \in\mathcal{D} (\mathbb{R}^N ) \),
\begin{equation*}
\left( \int |h|^{2^{*}}\, d\nu \right) ^{2/2^{*}}\leq \int |h|^{2}\, ||\nu||^{-2/N}d\nu ,
\end{equation*}
es decir
\begin{equation*}
\left( \int |h|^{2^{*}}\, d\nu \right) ^{1/2^{*}}||\nu||^{1/N}\leq \left(\int |h|^{2}\, d\nu \right) ^{1/2},
\end{equation*}
y así, para cada conjunto abierto \( \Omega \),
$$\nu(\Omega)^{1/2^{*}}\nu(\mathbb{R}^N)^{1/N}\leq \nu(\Omega)^{1/2}.$$
Entonces \( \nu(\Omega)=0 \) o \( \nu(\mathbb{R}^N)\leq \nu(\Omega \).
De ello se deduce que $\nu$ se concentra en un único punto.
4) Considerando ahora el caso general, escribimos \( v_n := u_n - u \). Como
$$v_n \rightharpoonup 0, \,\, \text{en } \mathcal{D}^{1,2} (\mathbb{R}^N )$$
tenemos
$$|\nabla u_n|^{2}\rightharpoonup \mu +|\nabla u|^{2} \,\, \text{en } \mathcal{M} (\mathbb{R}^N ).$$
Según el lema de Brezis-Lieb, tenemos para cada \( h \in\mathcal{K} (\mathbb{R}^N ) \) no negativo
$$\int h|u|^{2^{*}}\, = \lim_{n\to\infty} \left( \int h|u_n|^{2^{*}}-\int h|v_n|^{2^{*}}\right) .$$
Por lo tanto, se tiene
$$| u_n|^{2^{*}}\rightharpoonup \nu +| u|^{2^{*}} \,\, \text{en } \mathcal{M} (\mathbb{R}^N ).$$
La desigualdad (\ref{eq4}) se deduce de forma análoga como la parte 1 para \( \{v_n\} \).
5) Como
$$\limsup_{n\to\infty}\int_{|x|> R} |\nabla v_n|^{2}\,= \limsup_{n\to\infty}\int_{|x|> R} |\nabla u_n|^{2}- \int_{|x|> R} |\nabla u|^{2}$$
tenemos que
$$\lim_{R\to\infty}\limsup_{n\to\infty}\int_{|x|> R} |\nabla v_n|^{2}=\mu_\infty .$$
Por el lema de Brezis-Lieb, tenemos
$$\int_{|x|> R} |u|^{2^{*}}\, = \lim_{n\to\infty} \left( \int_{|x|> R} |u_n|^{2^{*}}-\int_{|x|> R} |v_n|^{2^{*}}\right) .$$
por lo tanto
$$\lim_{R\to\infty}\limsup_{n\to\infty}\int_{|x|\geq R} | v_n|^{2^{*}}=\nu_\infty .$$
La desigualdad (\ref{eq5}) se deduce entonces siguiendo la parte 2 de la demostración para \( \{v_n\} \).
6) Para cada \( R > 1 \), tenemos
\begin{equation*}
\begin{split}
\limsup_{n\to\infty}\int |\nabla u_n|^{2} & = \limsup_{n\to\infty}\left( \int \psi_{R}|\nabla u_n|^{2} + \int (1-\psi_{R})|\nabla u_n|^{2}\right) \\
& = \limsup_{n\to\infty} \int \psi_{R}|\nabla u_n|^{2} \\ &\qquad\quad+ \int (1-\psi_{R})\, d\mu + \int (1-\psi_{R})|\nabla u|^{2}
\end{split}
\end{equation*}
Cuando \( R \to\infty \), obtenemos, por el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue,
$$\limsup_{n\to\infty}\int |\nabla u_n|^{2} =\mu_{\infty} +\int d\mu + \int |\nabla u|^2 = \mu_{\infty} + ||\mu|| + |\nabla u|_{2}^{2}.$$
Ahora aplicando el lema de Brezis-Lieb, para \( R>1 \)
\begin{equation*}
\begin{split}
\limsup_{n\to\infty}\int |u_n|^{2^*} & = \limsup_{n\to\infty}\left( \int \psi_{R}|u_n|^{2^*} + \int (1-\psi_{R})| u_n|^{2^*}\right) \\
& = \limsup_{n\to\infty} \int \psi_{R}|u_n|^{2^*} \int (1-\psi_{R})\, d\nu + \int (1-\psi_{R})| u|^{2^*}
\end{split}
\end{equation*}
Cuando \( R \to\infty \), obtenemos, por el teorema de la convergencia dominada
$$\limsup_{n\to\infty}\int |u_n|^{2^*} = | u|_{2^*}^{2^*} + ||\nu|| +\nu_{\infty} .$$
Por lo tanto hemos probado (\ref{eq6}) y (\ref{eq7}).
Mis dudas son:
En la parte 3 de la demostración no me doy cuenta como se obtuvo esto:
De la desigualdad de Hölder para \( h \in\mathcal{D} (\mathbb{R}^N ) \), y combinando con \( \left( \int |h|^{2^{*}}\, d\nu \right) ^{2/2^{*}}\leq S^{-1} \int |h|^{2}\, d\mu \)(\ref{eq8})
\begin{equation*}
\left( \int |h|^{2^{*}}\, d\nu \right) ^{1/2^{*}}\leq S^{-1/2}||\mu||^{1/N} \left(\int |h|^{2^{*}}\, d\mu \right) ^{1/2^{*}}.
\end{equation*}
Se deduce que \( \nu \leq S^{-2^{*}/2}||\mu||^{2/N-2}\mu \).
Lo mismo para esta parte:
\begin{equation*}
\left( \int |h|^{2^{*}}\, d\nu \right) ^{1/2^{*}}||\nu||^{1/N}\leq \left(\int |h|^{2}\, d\nu \right) ^{1/2},
\end{equation*}
y así, para cada conjunto abierto \( \Omega \),
$$\nu(\Omega)^{1/2^{*}}\nu(\mathbb{R}^N)^{1/N}\leq \nu(\Omega)^{1/2}.$$
En la parte 4 de la demostración no me doy cuenta como se deduce esto:
Según el lema de Brezis-Lieb, tenemos para cada \( h \in\mathcal{K} (\mathbb{R}^N ) \) no negativo
$$\int h|u|^{2^{*}}\, = \lim_{n\to\infty} \left( \int h|u_n|^{2^{*}}-\int h|v_n|^{2^{*}}\right) .$$
Por lo tanto, se tiene
$$| u_n|^{2^{*}}\rightharpoonup \nu +| u|^{2^{*}} \,\, \text{en } \mathcal{M} (\mathbb{R}^N ).$$
En la parte 6 de la demostración no me doy cuenta como se deduce esto:
Para cada \( R > 1 \), tenemos
\begin{equation*}
\begin{split}
\limsup_{n\to\infty}\int |\nabla u_n|^{2} & = \limsup_{n\to\infty}\left( \int \psi_{R}|\nabla u_n|^{2} + \int (1-\psi_{R})|\nabla u_n|^{2}\right) \\
& = \limsup_{n\to\infty} \int \psi_{R}|\nabla u_n|^{2} \\ &\qquad\quad+ \int (1-\psi_{R})\, d\mu + \int (1-\psi_{R})|\nabla u|^{2}
\end{split}
\end{equation*}
Cuando \( R \to\infty \), obtenemos, por el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue,
$$\limsup_{n\to\infty}\int |\nabla u_n|^{2} =\mu_{\infty} +\int d\mu + \int |\nabla u|^2 = \mu_{\infty} + ||\mu|| + |\nabla u|_{2}^{2}.$$
