[Eparoh]

Hola a todos.

En cierta prueba que estaba leyendo se ha establecido lo siguiente:

Si \( g \) es una función medible y acotada en \( [0,1] \), entonces existe una sucesión de funciones simples de la forma

\( \displaystyle g_n=\sum_{k=1}^n c_k \chi_{\left[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}\right)} \)

tales que la sucesión \( \{g_n\} \) está uniformemente acotada y \( g_n \to g \) en casi todo punto.

Conozco algunos resultados sobre aproximación de funciones por funciones simples, pero no veo como demostrar este. Es más, es correcto lo que pone o deberían ser

\( \displaystyle g_n=\sum_{k=1}^{2^n} c_k \chi_{\left[\frac{k-1}{2^n}, \frac{k}{2^n}\right)} \)

(No cambiaría en nada la prueba de ser las funciones simples de esta última forma).

¿Alguna idea?

Un saludo.

[Masacroso]

Es una demostración constructiva y fue la idea de origen de Lebesgue para definir su integral: en vez de partir el dominio de la función en trocitos partimos su codominio. Es decir, si en la integral de Riemann partíamos de una aproximación de una función particionando el intervalo de integración en intervalos a Lebesgue se le ocurrió particionar el codominio de la función al completo.

Por ejemplo supongamos por simplicidad que \( f \) es no negativa además de medible con codominio \( \mathbb{R} \), entonces podemos partir \( \mathbb{R} \) en una serie finita de intervalos: \( I_0:=[0,y_1) \), \( I_1:=[y_1,y_2) \), etc..., hasta un intervalo de longitud infinita \( I_n:=[y_n,\infty ) \). Entonces \( I_0,\ldots ,I_n \) es una partición de \( \mathbb{R} \) y podemos definir la función simple \( s:=\sum_{k=0}^n c_k\cdot \mathbf{1}_{f^{-1}(I_k)} \) donde podemos definir \( c_k:=\inf I_k \). Entonces \( s\leqslant f \), y con esa idea podemos construir una sucesión de funciones simples que converjan monótona y puntualmente a \( f \). Ésa es la idea esencial.

Añadido: perdona, no me había fijado que lo que buscas es aproximar una función medible con funciones escalonadas. La idea entonces podría ser la siguiente, en dos partes:

1) A partir de la definición de la medida exterior de Lebesgue observar que toda función característica integrable se puede aproximar arbitrariamente bien en \( L^1 \) por una función escalonada, esto se puede demostrar de muchas formas.

2) Que toda sucesión de funciones que converge a cero en \( L^1 \) contiene una subsucesión de funciones que converge puntualmente a cero casi en todas partes.

Uniendo esos dos resultados demuestras que para toda función medible (no necesariamente integrable) existe una sucesión de funciones escalonadas que converge a cero casi en todas partes. Luego que estén uniformemente acotadas es consecuencia de que la función a la que convergen esté acotada.

[Gustavo]

Hola. Es cierto que las funciones medibles pueden ser aproximadas en casi todo punto por funciones simples escalonadas, es decir, donde las funciones características están definidas sobre intervalos, no necesariamente conjuntos medibles arbitrarios. Puedes ver una prueba en el libro Real Analysis de Stein. (He adjuntado las páginas relevantes.)

No sé si en el argumento que sigues eso sea suficiente o sea crucial que los intervalos sean precisamente los de la forma \( [(k-1)/n,\, k/n) \). Parece posible modificar las funciones características para tener esos intervalos, pero no estoy seguro de los detalles.

Suponemos \( f_n \to f \) con \( (f_n)_n \) simples escalonadas. Si \( f_1(x)=\displaystyle \sum_{j=1}^{N_1} a_j\, \chi_{[b_j,c_j]} \), buscaría el menor \( n_1 \) tal que cada \( b_j \) y \( c_j \) esté a distancia a lo sumo \( \varepsilon \) de \( \{k/n_1: k=0,\ldots,n_1\} \) y definiría los coeficientes de \( g_{n_1} \) en términos de los \( a_j \). Luego buscaría \( n_2>n_1 \) para definir \( g_{n_2} \) en términos de \( f_2 \), y así sucesivamente. Hay varias cosas por mirar: la definición de los otros \( g_n \), la convergencia a \( f \), la escogencia de \( \varepsilon \), ...

[Eparoh]

Hola a ambos y gracias por las respuestas.

Añadido: perdona, no me había fijado que lo que buscas es aproximar una función medible con funciones escalonadas. La idea entonces podría ser la siguiente, en dos partes:

Claro, claro. Algo de teoría de la medida se (aunque sea poquito)

1) A partir de la definición de la medida exterior de Lebesgue observar que toda función característica integrable se puede aproximar arbitrariamente bien en \( L^1 \) por una función escalonada, esto se puede demostrar de muchas formas.

2) Que toda sucesión de funciones que converge a cero en \( L^1 \) contiene una subsucesión de funciones que converge puntualmente a cero casi en todas partes.

Uniendo esos dos resultados demuestras que para toda función medible (no necesariamente integrable) existe una sucesión de funciones escalonadas que converge a cero casi en todas partes. Luego que estén uniformemente acotadas es consecuencia de que la función a la que convergen esté acotada.

Vale. En esencia, es probar que las funciones escalonadas son densas en \( L^1 \) y utilizar el resultado de que convergencia en \( L^1 \) implica convergencia en casi todo punto, pero pasando a una subsucesión. Lo que no veo tan claro es la acotación uniforme, ¿podrías elaborarlo un poco más?

Hola. Es cierto que las funciones medibles pueden ser aproximadas en casi todo punto por funciones simples escalonadas, es decir, donde las funciones características están definidas sobre intervalos, no necesariamente conjuntos medibles arbitrarios. Puedes ver una prueba en el libro Real Analysis de Stein. (He adjuntado las páginas relevantes.)

He revisado la prueba que estaba realizando y efectivamente basta con utilizar funciones escalonadas a secas. No tienen porque tener la forma que he escrito (aunque si es lo que pone en la prueba ). La construcción que aparece en el libro que propones es más elemental que lo que propone Masacroso, pero me parece que hacen trampas. Porque, lo prueban para una función característica y, por tanto, queda probado para funciones simples, pero el salto desde las funciones simples a cualquier función medible, aun con el teorema anterior a su disposición, no me parece evidente. Al menos, no sin contar con partes de la propia demostración que se da. ¿O si lo es y me estoy perdiendo algo?

Un saludo.

[Gustavo]

Hola.

(...) pero me parece que hacen trampas. Porque, lo prueban para una función característica y, por tanto, queda probado para funciones simples, pero el salto desde las funciones simples a cualquier función medible, aun con el teorema anterior a su disposición, no me parece evidente. Al menos, no sin contar con partes de la propia demostración que se da.

No diría tanto como hacer trampas (jeje), pero estoy de acuerdo contigo. Para el caso general pienso que hay que rehacer el mismo argumento para la sucesión de funciones simples que se obtiene del teorema anterior. O sea, para cada función simple \( f_k \) de la sucesión escogida que converge a \( f \), buscar una función simple escalonada \( h_k \) tal que el conjunto donde \( f_k \) y \( g_k \) difieren tiene medida a lo sumo \( 2^{-k} \).

[Eparoh]

Hola.

No diría tanto como hacer trampas (jeje), pero estoy de acuerdo contigo. Para el caso general pienso que hay que rehacer el mismo argumento para la sucesión de funciones simples que se obtiene del teorema anterior. O sea, para cada función simple \( f_k \) de la sucesión escogida que converge a \( f \), buscar una función simple escalonada \( h_k \) tal que el conjunto donde \( f_k \) y \( g_k \) difieren tiene medida a lo sumo \( 2^{-k} \).

Sí. A eso me refería, que a mi no me parece tan inmediato como para ponerlo sin dar ninguna indicación 

Un saludo.

[Masacroso]

Vale. En esencia, es probar que las funciones escalonadas son densas en \( L^1 \) y utilizar el resultado de que convergencia en \( L^1 \) implica convergencia en casi todo punto, pero pasando a una subsucesión. Lo que no veo tan claro es la acotación uniforme, ¿podrías elaborarlo un poco más?

ERRÓNEO

Claro: supón que \( f \) es una función medible acotada, digamos que por \( M \), y que \( \{f_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) es una sucesión de funciones escalonadas que converge en \( L^1 \) a \( f \), entonces la sucesión \( \{g_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) definida por \( g_n:=f_n\cdot \mathbf{1}_{[-M,M]} \) está uniformemente acotada, es de funciones ecalonadas y converge a \( f \) en \( L^1 \), para verlo observa que \( f_n=g_n+h_n \) con \( h_n:=f_n\cdot \mathbf{1}_{(-\infty ,-M)\cup (M,\infty )} \), y como \( f_n\to f \) en \( L^1 \) y \( f=f\cdot \mathbf{1}_{[-M,M]} \) entonces se sigue que \( h_n\to 0 \) en \( L^1 \), es decir, que \( g_n\to f \) en \( L^1 \).

[cerrar]

Corrección: la idea del spoiler es incorrecta tal y como la planteé. Hay que acotar el rango de las \( f_n \), no su soporte.

[Eparoh]

Hola.

Claro: supón que \( f \) es una función medible acotada, digamos que por \( M \), y que \( \{f_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) es una sucesión de funciones escalonadas que converge en \( L^1 \) a \( f \), entonces la sucesión \( \{g_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) definida por \( g_n:=f_n\cdot \mathbf{1}_{[-M,M]} \) está uniformemente acotada, es de funciones ecalonadas y converge a \( f \) en \( L^1 \), para verlo observa que \( f_n=g_n+h_n \) con \( h_n:=f_n\cdot \mathbf{1}_{(-\infty ,-M)\cup (M,\infty )} \), y como \( f_n\to f \) en \( L^1 \) y \( f=f\cdot \mathbf{1}_{[-M,M]} \) entonces se sigue que \( h_n\to 0 \) en \( L^1 \), es decir, que \( g_n\to f \) en \( L^1 \).

No termino de entenderlo 

Tal vez no estoy entendiendo la notación, pero si \( f \) está acotada por \( M \), entonces \( \left |{f(x)}\right | \leq M \) para cada \( x \in [0,1] \), pero entonces \( f \) no es igual a \( f \cdot \chi_{[-M,M]} \), porque la función indicadora actua en el dominio, no en el rango, ¿no?

Un saludo.

[Masacroso]

Hola.

Claro: supón que \( f \) es una función medible acotada, digamos que por \( M \), y que \( \{f_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) es una sucesión de funciones escalonadas que converge en \( L^1 \) a \( f \), entonces la sucesión \( \{g_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) definida por \( g_n:=f_n\cdot \mathbf{1}_{[-M,M]} \) está uniformemente acotada, es de funciones ecalonadas y converge a \( f \) en \( L^1 \), para verlo observa que \( f_n=g_n+h_n \) con \( h_n:=f_n\cdot \mathbf{1}_{(-\infty ,-M)\cup (M,\infty )} \), y como \( f_n\to f \) en \( L^1 \) y \( f=f\cdot \mathbf{1}_{[-M,M]} \) entonces se sigue que \( h_n\to 0 \) en \( L^1 \), es decir, que \( g_n\to f \) en \( L^1 \).

No termino de entenderlo 

Tal vez no estoy entendiendo la notación, pero si \( f \) está acotada por \( M \), entonces \( \left |{f(x)}\right | \leq M \) para cada \( x \in [0,1] \), pero entonces \( f \) no es igual a \( f \cdot \chi_{[-M,M]} \), porque la función indicadora actua en el dominio, no en el rango, ¿no?

Un saludo.

Ha sido un despiste gordo . La idea era acotar el valor de las \( f_n \), en vez de lo anterior debería haber definido \( g_n:=\max\{\min\{f_n,M \},-M\} \), entonces ahora sí, esas \( g_n \) están acotadas y son funciones escalonadas, queda por tanto demostrar que convergen a \( f \) en \( L^1 \), lo cual se sigue del hecho de que \( f_n\to f \) en \( L^1 \) y que \( |f_n-f|\geqslant |g_n-f| \) por construcción de \( g_n \).

[Eparoh]

Hola.

Ha sido un despiste gordo . La idea era acotar el valor de las \( f_n \), en vez de lo anterior debería haber definido \( g_n:=\max\{\min\{f_n,M \},-M\} \), entonces ahora sí, esas \( g_n \) están acotadas y son funciones escalonadas, queda por tanto demostrar que convergen a \( f \) en \( L^1 \), lo cual se sigue del hecho de que \( f_n\to f \) en \( L^1 \) y que \( |f_n-f|\geqslant |g_n-f| \) por construcción de \( g_n \).

Vale, ahora si está claro. Cuando lo propusiste la primera vez entendí que lo que ocurría era que cualquier sucesión estaría uniformemente acotada y esto no lo veía claro (porque no tiene que ser cierto), pero con esto que propones ahora ya está todo solucionado. Gracias de nuevo

Un saludo.