Resumen
Este breve escrito es uno de tantos ejemplos que ponen de manifiesto que, a veces, un problema, en este caso matemático, se puede resolver con diferentes métodos y usando distintas estrategias. Más concretamente, se presentan cuatro posibles métodos de resolución de un Problema de Valor Inicial (PVI), cuya fundamentación teórica, por otra parte, se puede consultar en cualquier texto de Análisis Matemático que trate las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) y en textos de Álgebra elemental.
Índice
1. Ecuación del péndulo 2. Método de resolución de EDO lineales con coeficientes constantes 3. Método de resolución con la Transformada de Laplace 4. Método de resolución con series de potencias 5. Método de resolución como un sistema lineal homogéneo de EDO 1. Ecuación del pénduloTras realizar un análisis desde el punto de vista de la Dinámica y aplicar la Segunda Ley de Newton,
en condiciones ideales,
\( \displaystyle\sum\limits_{j}F_j=ma\Longleftrightarrow -mg\sen\theta(t)=ml\theta''(t) \)
se deduce la ecuación que describe el movimiento de un péndulo cuya cuerda es de longitud \( l \), situado en una región donde la gravedad es \( g \):
\( \theta''(t)+\dfrac{g}{l}\sen\theta (t)=0 \)
donde \( l\theta (t) \) es el arco en el instante \( t \) y \( l\theta''(t)=l\dfrac{d^2\theta(t)}{dt^2} \) es la aceleración. Se trata de una EDO de segundo orden no lineal. Sin embargo, si el ángulo \( \theta(t) \) es pequeño \( \left(0\leq \theta(t) \leq 0,1\, rad\right) \), entonces
\( \sin\theta(t)\simeq \theta(t) \)
y si tomamos como longitud de la cuerda precisamente \( l=g \), se obtiene la siguiente EDO lineal de segundo orden con coeficientes constantes:
\( \theta''(t)+\theta (t)=0 \)
A su vez, si las condiciones iniciales de posición y velocidad son respectivamente
\( l\theta(0)=0,l\theta'(0)=l \)
se obtiene el siguiente Problema de Valor Inicial (PVI):
\( \left\{\begin{array}{l}\theta''(t)+\theta(t)=0\\\theta(0)=0\\\theta'(0)=1 \end{array}\right. \)
que por comodidad de escritura, lo representamos a continuación con la siguiente notación
\( \left\{\begin{array}{l}y''(t)+y(t)=0\\y(0)=0\\y'(0)=1 \end{array}\right. \)
y lo resolvemos mediante cuatro métodos distintos.
2. Método de resolución de EDO lineales con coeficientes constantesSe trata de una EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Su
ecuación característica asociada es
\( D^2+1=0 \)
cuyas raíces son los números complejos \( i, -i \) y, por tanto, su solución general viene dada por
\( y(t)=C_1\cos t+ C_2\sen t \)
Derivando respecto a \( t \) se obtiene
\( y'(t)=-C_1\sen t+ C_2\cos t \)
y teniendo en cuenta las condiciones iniciales se deduce que
\( \left\{\begin{array}{l}0=y(0)=C_1\\1=y'(0)=C_2\end{array}\right. \)
por lo que la solución del PVI es
\( \textcolor{blue}{y(t)=\sen t} \)
3. Método de resolución con la Transformada de LaplaceEste método es, quizás, el más breve y, a mi juicio, el más "elegante". Mediante la Transformada de Laplace se convierte la EDO en una ecuación polinómica de primer grado cuya indeterminada es precisamente la transformada de Laplace de la funcíón incógnita y que, tras despejarse, mediante la aplicación de la antitransformada de Laplace nos da la función que se busca.
\( {\cal L}[y''(t)+y(t)]=0\Longleftrightarrow {\cal L}[y''(t)]+{\cal L}[y(t)]=0\Longleftrightarrow s^2{\cal L}[y(t)]-sy(0)-y'(0)+{\cal L}[y(t)]=0\Longleftrightarrow {\cal L}[y(t)]=\dfrac{1}{s^2+1}\Longrightarrow y(t)={\cal L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s^2+1}\right] \)
de donde la solución del PVI es
\( \textcolor{blue}{y(t)=\sen t} \)
4. Método de resolución con series de potenciasEn este método se parte de la suposición de que la función incógnita se puede desarrollar en serie de potencias.
\( y(t)=\displaystyle\sum\limits_{j=0}^{\infty}a_jt^j \)
Entonces, derivando respecto a \( t \), obtenemos
\( y'(t)=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{\infty}ja_jt^{j-1}\\
y''(t)=\displaystyle\sum\limits_{j=2}^{\infty}j(j-1)a_jt^{j-2} \)
Como ha de ser solución de la EDO, habrá de cumplir la condición
\( y''(t)+y(t)=0 \)
luego
\( \displaystyle\sum\limits_{j=2}^{\infty}j(j-1)a_jt^{j-2}+\displaystyle\sum\limits_{j=0}^{\infty}a_jt^j=0\Longleftrightarrow \displaystyle\sum\limits_{j=0}^{\infty}(j+2)(j+1)a_{j+2}t^{j}+\displaystyle\sum\limits_{j=0}^{\infty}a_jt^j=0 \)
de donde se deduce que
\( (j+2)(j+1)a_{j+2}+a_j=0,\,\,\,\forall\,j\geq 0\Longleftrightarrow a_{j+2}=\dfrac{-a_j}{(j+2)(j+1)},\,\,\,\forall\,j\geq 0 \)
Por otra parte
\( a_0=y(0)=0\Longrightarrow a_2=a_4=\cdots =a_{2k}=0,\,\,\,\forall\,k\geq 0\\
a_1=y'(0)=1\Longrightarrow a_3=\dfrac{-a_1}{3\cdot 2}=\dfrac{-1}{3!}\Longrightarrow a_5=\dfrac{-a_3}{5\cdot 4}=\dfrac{1}{5!}\Longrightarrow \cdots \Longrightarrow a_{2k+1}=\dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!},\,\,\,\forall\,k\geq 0 \)
En definitiva
\( y(t)=\displaystyle\sum\limits_{j=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^kt^{2k+1}}{(2k+1)!} \)
por lo cual la solución del PVI es
\( \textcolor{blue}{y(t)=\sen t} \)
5. Método de resolución como un sistema lineal homogéneo de EDOLa aplicación de este último método, que he dejado para el final, bien podría calificarse como
matar moscas a cañonazos. Se trata de transformar la EDO en un sistema lineal mediante un cambio de variable y a continuación aplicar la teoría ya fundamentada, de la resolución de sistemas lineales de EDO homogéneos.
Así,
\( \left\{\begin{array}{l}y_1=y\\y_2=y'\\y(0)=0\\y'(0)=1\end{array}\right.\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}y'_1=y_2\\y'_2=-y_1\\y_1(0)=0\\y_2(0)=1\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}Y'=AY\\Y(0)=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\end{array}\right. \)
donde son
\( Y=\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right)\hspace{1cm}Y'=\left(\begin{array}{c}y'_1\\y'_2\end{array}\right)\hspace{1cm}A=\left(\begin{array}{rr}0&1\\-1&0\end{array}\right) \)
El método consiste en hallar una matriz diagonal semejante a \( A \).
\( 0=|A-\lambda I|=\left|\begin{array}{rr}-\lambda &1\\-1&-\lambda\end{array}\right|=\lambda^2+1\Longleftrightarrow \lambda =\pm i \)
Se halla ahora el
subespacio fundamental de vectores propios asociado a cada valor propio.
\( N(i)? \)
\( \left(\begin{array}{rr}-i&1\\-1&-i\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right) \Longrightarrow b=ai \Longrightarrow N(i)=<\left(\begin{array}{c}1\\i\end{array}\right)>=<\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+i\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)> \)
\( N(-i)? \)
\( \left(\begin{array}{rr}i&1\\-1&i\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right) \Longrightarrow b=-ai \Longrightarrow N(-i)=<\left(\begin{array}{c}1\\-i\end{array}\right)>=<\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)-i\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)> \)
Por tanto, una
matriz fundamental que resuelve el sistema homogéneo viene dada por
\( \Phi(t)=\left(\varphi_1(t)\hspace{0.5cm}\varphi_2(t)\right)=\left(\cos t\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)-\sen t\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\hspace{1cm} \sen t\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+\cos t\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{rr}\cos t&\sen t\\-\sen t&\cos t\end{array}\right) \)
Como la solución del sistema es \( Y(t)=\Phi(t)\cdot\left(\begin{array}{c}C_1\\C_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}\cos t&\sen t\\-\sen t&\cos t\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}C_1\\C_2\end{array}\right) \) y es \( Y(0)=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\Longleftrightarrow
\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}C_1\\C_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right) \) resulta \( C_1=0,C_2=1 \)
En definitiva, \( Y(t)=\left(\begin{array}{c}\sen t\\\cos t\end{array}\right)\Longrightarrow y_1(t)=y(t)=\sen t \) por lo cual la solución del PVI es
\( \textcolor{blue}{y(t)=\sen t} \)
Otra forma posible de resolver el sistema homogéneo es calculando la
matriz exponencial de \( A \) y aplicar la fórmula de la solución de un sistema lineal homogéneo. Así pues, \( D=P^{-1}AP \) donde son \( D=\left(\begin{array}{rr}i&0\\0&-i\end{array}\right)\hspace{1cm}P=\left(\begin{array}{rr}1&1\\i&-i\end{array}\right)\hspace{1cm}P^{-1}=\dfrac{1}{-2i}\left(\begin{array}{rr}-i&-1\\-i&1\end{array}\right)=\dfrac{i}{2}\left(\begin{array}{rr}-i&-1\\-i&1\end{array}\right) \)
por lo que la solución del sistema lineal homogéneo es
\( Y(t)=e^{tA}Y(0)=Pe^{tD}P^{-1}Y(0)=\left(\begin{array}{rr}1&1\\i&-i\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}e^{ti}&0\\0&e^{-ti}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}-i&-1\\-i&1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\dfrac{i}{2}=\left(\begin{array}{c}-e^{ti}+e^{-ti}\\-ie^{ti}-ie^{-ti}\end{array}\right)\dfrac{i}{2}=\left(\begin{array}{c}\sen t\\\cos t\end{array}\right) \)de donde deducimos que \( y_1(t)=\sen t \) y la solución del PVI es, tal y como se esperaba,
\( \textcolor{blue}{y(t)=\sen t} \)
Y esto ha sido todo; las matemáticas son útiles y divertidas, pero sobre todo ¡bellas!Adjunto la versión pdf por si es de interés para alguien.
