[lapochileza]

 Hola, buenas tardes. Necesito ayuda de como demostrar la siguiente equivalencia
Sea \( (X,\zeta) \) un espacio medible y  f:\( X\rightarrow{\mathbb{R}} \) una funcion.
Probar que f es  \( \zeta \)-medible si y solo si f es  \( (\zeta,\beta) \)-medible (i.e., si y solo si \( f^{-1}(B)\in{\zeta} \) para todo B \( \in{\beta} \))
Siendo \( \beta \) el \( \sigma \)-algebra de Borel

La vuelta de la demostracion, creo que es trivial, es decir que si  f es  \( (\zeta,\beta) \)-medible entonces por definicion  f es  \( \zeta \)-medible.

Luego, si quiero ver que f es  \( \zeta \)-medible entonces f es  \( (\zeta,\beta) \)-medible.
No entiendo que quiero que pruebe, siento que por definicion de \( (\zeta,\beta) \)-medible esto me garantiza que  f es  \( \zeta \)-medible.

En un libro encontre que si probaba que el conjunto  \( A= \)\( [E\subset{\mathbb{R}} : f^{-1}(E)\in{\zeta}] \) es \( \sigma \)-algebra de subconjuntos de \( \mathbb{R} \), entonces luego,
\( f^{-1}((a,b))=f^{-1}((a,\infty)\cap{f^{-1}((-\infty,b))} \)
entonces \( (a,b)\in{A} \). Y como A contiene todos los conjuntos abiertos, con lo que contiene tambien a todos los conjuntos de Borel.
 
Entonces, lo que comprendi que hacia este libro, es crear otra \( \sigma \)-algebra a la que llamamos que  \( A \)  MAS GRANDE que \( \sigma \)-algebra de Borel, y luego entonces como \( \sigma \)-algebra de Borel va a estar incluida en  \( A \), ESTO IMPLICARIA QUE   f es  \( (\zeta,A) \)-medible mas particularmente que  f es  \( (\zeta,\beta) \)-medible

Esta bien lo que comprendi? y si no es asi, como se hace la demostracion para \( \Rightarrow{)} \)

[Masacroso]

No sé lo que tienes que demostrar porque no conozco que definición te han dado de \( \zeta  \)-medible. Las definiciones que siempre he visto de \( \zeta  \)-medibilidad son que \( f^{-1}(B) \) esté en \( \zeta  \) para cada subconjunto \( B\subset \mathbb{R} \) Borel. Es decir tanto \( \zeta  \)-medible como \( (\zeta ,\beta ) \)-medible son lo mismo cuando \( \beta  \) es la \( \sigma  \)-álgebra de Borel, esas son las definiciones que conozco.

[lapochileza]

No sé lo que tienes que demostrar porque no conozco que definición te han dado de \( \zeta  \)-medible. Las definiciones que siempre he visto de \( \zeta  \)-medibilidad son que \( f^{-1}(B) \) esté en \( \zeta  \) para cada subconjunto \( B\subset \mathbb{R} \) Borel. Es decir tanto \( \zeta  \)-medible como \( (\zeta ,\beta ) \)-medible son lo mismo cuando \( \beta  \) es la \( \sigma  \)-álgebra de Borel, esas son las definiciones que conozco.

Esas mismas Definiciones que mencionaste tengo.

[Masacroso]

No sé lo que tienes que demostrar porque no conozco que definición te han dado de \( \zeta  \)-medible. Las definiciones que siempre he visto de \( \zeta  \)-medibilidad son que \( f^{-1}(B) \) esté en \( \zeta  \) para cada subconjunto \( B\subset \mathbb{R} \) Borel. Es decir tanto \( \zeta  \)-medible como \( (\zeta ,\beta ) \)-medible son lo mismo cuando \( \beta  \) es la \( \sigma  \)-álgebra de Borel, esas son las definiciones que conozco.

Esas mismas Definiciones que mencionaste tengo.

Entonces no hay nada que demostrar, ambas cosas dicen exactamente lo mismo cuando \( \beta \) es la \( \sigma  \)-álgebra de Borel en \( \mathbb{R} \), por tanto son la misma cosa.