Autor Tema: Compactos y continuidad

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05 Octubre, 2022, 11:20 pm
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ACAA

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Hola. Me piden demostrar que el siguiente conjunto es compacto por medio de continuidad.

\(
\left\{{(x,y,z)}\in{\mathbb{R^3}}|3x^{^{2}}+y^{2}=12,x+y+z=2\right\}
 \)

Como estamos en \( \mathbb{R^3} \) basta probar que es cerrado y acotado. Para probar que es cerrado, mi idea era encontrar la intersección de las dos superficies del cjto, pues así está definido, sin embargo, no pude resolver mis sistema de ecuaciones, luego quería usar el teorema que nos dice que la imagen inversa de un cerrado bajo una continua es cerrado, pero aquí no se que función considerar. Y tampoco se como demostrar que esta acotado, no entiendo como esta definido mi cjto. AYUDA PORFA.

05 Octubre, 2022, 11:48 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Toma \( f(x,y,z) = 3 \cdot x^2 + y^2 \ \  \) y \( \ \ g(x,y,z) = x+y+z  \) y usa \( f^{-1}(12) \cap g^{-1}(2)  \).
Ver que es acotado gráficamente es fácil, otra cosa es demostrarlo, espera otra idea mejor.

06 Octubre, 2022, 09:14 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola. Me piden demostrar que el siguiente conjunto es compacto por medio de continuidad.

\(
\left\{{(x,y,z)}\in{\mathbb{R^3}}|3x^{^{2}}+y^{2}=12,x+y+z=2\right\}
 \)

Como estamos en \( \mathbb{R^3} \) basta probar que es cerrado y acotado. Para probar que es cerrado, mi idea era encontrar la intersección de las dos superficies del cjto, pues así está definido, sin embargo, no pude resolver mis sistema de ecuaciones, luego quería usar el teorema que nos dice que la imagen inversa de un cerrado bajo una continua es cerrado, pero aquí no se que función considerar. Y tampoco se como demostrar que esta acotado, no entiendo como esta definido mi cjto. AYUDA PORFA.

¿En qué sentido no lo entiendes? Está definido como los puntos del espacio que cumplen dos ecuaciones; geométricamente la primera corresponde a un cilindro y la segunda a un plano: es el corte de un plano con un cilindro. El corte es una elipse.

Se puede acotar fácilmente:

- Si \( 3x^2+y^2=12 \) entonces \( 3x^2\leq 12\quad \Rightarrow\quad x^2\leq 4\quad \Rightarrow\quad |x|\leq 2 \)

- Si \( 3x^2+y^2=12 \) entonces \( y^2\leq 12\quad \Rightarrow\quad y^2\leq 12\quad \Rightarrow\quad |y|\leq \sqrt{12}<4 \)

- Si además \( x+y+z=2 \) entonces \( z=2-x-y \) y \( |z|\leq 2+|x|+|y|<2+2+4=8 \)

Por tanto para cualquier punto \( (x,y,z) \) del conjunto:

\( \|(x,y,z)\|^2=x^2+y^2+z^2\leq 4+12+8^2=80 \)

Está acotado. Aquí tienes el gráfico:


Saludos.

06 Octubre, 2022, 09:48 am
Respuesta #3

Eparoh

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Hola, otra forma de hacerlo utilizando la continuidad como dices.

Considera la función \( f:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3 \) dada por \( f(x,y)=(x,y,2-x-y) \).

Al evaluarla en la elipse del plano \( E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 3x^2+y^2=12\} \) se obtiene que \( f(E) \) es precisamente tu conjunto (compruebalo). Como \( E \) es compacto y \( f \) claramente continua, obtines que su imagen \( f(E) \) es también compacta.

Un saludo.