Autor Tema: Teorema de la función implícita

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04 Octubre, 2022, 04:43 am
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Julio_fmat

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Considere la ecuación \( xy=\ln\left(\dfrac{x}{y}\right) \). Mostrar que, para valores cercanos a \( \sqrt{e} \), existe una función \( g \) de clase \( C^1 \) tal que \( y=g(x), g(\sqrt{e})=\dfrac{1}{\sqrt{e}} \), y demostrar que \( \sqrt{e} \) es un máximo local.

Hola, cómo están. Para este problema, debo usar el Teorema de la función implícita? Muchas gracias.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

04 Octubre, 2022, 09:32 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Considere la ecuación \( xy=\ln\left(\dfrac{x}{y}\right) \). Mostrar que, para valores cercanos a \( \sqrt{e} \), existe una función \( g \) de clase \( C^1 \) tal que \( y=g(x), g(\sqrt{e})=\dfrac{1}{\sqrt{e}} \), y demostrar que \( \sqrt{e} \) es un máximo local.

Hola, cómo están. Para este problema, debo usar el Teorema de la función implícita? Muchas gracias.

Si. Si consideras \( f(x,y)=xy-ln(x/y)=xy-ln(x)+ln(y) \) tienes que \( f(\sqrt{e},1/\sqrt{e})=0 \) y:

\( f_y(x,y)=x+\dfrac{1}{y} \) de donde \( f_y(\sqrt{e},1/\sqrt{e})\neq 0 \)

Entonces existe la función \( g(x) \) definida en un entorno de \( \sqrt{e} \) tal que \( f(x,g(x))=0 \). Cumple:

\( xg(x)-ln(x)+ln(g(x))=0 \)

Derivando:

\( g(x)+xg'(x)-\dfrac{1}{x}+\dfrac{g'(x)}{g(x)}=0 \) (*)

Evaluando en \( x=\sqrt{e} \) te queda:

\( \dfrac{1}{\sqrt{e}}+\sqrt{e}g'(\sqrt{e})-\dfrac{1}{\sqrt{e}}+\sqrt{e}g'(\sqrt{e})=0 \)

de donde \( g'(\sqrt{e})=0 \)  (1).

Derivando otra vez en (*):

\( 2g'(x)+xg''(x)+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{g''(x)g(x)-g'(x)^2}{g(x)^2}=0 \)

Evaluando en \( x=\sqrt{e} \) te queda:

\( \sqrt{e}g''(\sqrt{e})+\dfrac{1}{e}+\sqrt{e}g''(\sqrt{e})=0 \)

de donde:

\( g'(\sqrt{e})=-\dfrac{1}{e\sqrt{e}}<0 \) (2)

De (1) y (2) se deduce que \( g(x) \) tiene un máximo local en \( x=\sqrt{e} \).

Saludos.