Autor Tema: Regla de la cadena y coordenadas polares

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

04 Octubre, 2022, 04:32 am
Leído 56 veces

Julio_fmat

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,792
  • País: cl
  • Karma: +0/-2
  • Sexo: Masculino
    • Fmat
Sea \( g: A \subseteq \mathbb{R}^2\to \mathbb{R} \) una función de clase \( \mathcal{C}^2 \), y sea \( f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 \) la función definida por \( f(r,\theta)=(r \text{cos} \theta, r\sin \theta) \) y sea \( h= g \circ f. \) Expresar la ecuación \( E=x\dfrac{\partial g}{\partial y}+y\dfrac{\partial g}{\partial x} \) en coordenadas polares, es decir, expresar \( E \) en términos de \( r, \theta \) y \( h. \)

Hola, muy buenas noches, cómo están. Traigo este problema, ya hice el curso de Cálculo en Varias Variables, pero olvidé cómo se hacían este tipo de problemas  :-\. Si me pueden recordar, muchas gracias. Saludos.

"Haz de las Matemáticas tu pasión".

04 Octubre, 2022, 08:01 am
Respuesta #1

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,987
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

En el campo escalar E, el único problema lo constituyen las derivadas parciales, realmente te están indicando el método, sencillamente, la continuidad de las derivadas parciales de g y f implican que son diferenciables, y la compuesta h también y se cumple :

\( J(h) =J(g) \ J(f)  \) donde J indica el jacobiano, ayudando un poco más se tiene :

\( (h_r \ h_{\theta}) =(g_x \ g_y) \ \begin{pmatrix}{cos \theta}&{-r sen \theta}\\{sen \theta}&{r cos \theta}\end{pmatrix} \)

Se establecen las ecuaciones :

\( g_x cos \theta+g_y sen \theta=h_r \)

\( -g_xrsen \theta+g_yrcos\theta=h_{\theta}  \)

Se despejan \( g_x, g_y \) y se sustituyen en la expresión de E

Saludos