Autor Tema: ¿Cuantos subconjuntos contienen el elemento...?

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

02 Octubre, 2022, 03:26 am
Leído 70 veces

Nub

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 344
  • País: 00
  • Karma: +0/-0
Hola.

¿Cuántos subconjuntos del conjunto \( {a, b, c, d, e, f, g} \) contienen la a y/o la b?
Respuestas:
A) 32
B) 96
C) 128

La primera pregunta es ¿como calcular los subconjuntos que no contienen la letra a por ejemplo?
A simple vista diría sacar la a del conjunto y calcular la cantidad de subconjuntos que ahora tendria 6 elementos entonces \( 2^6 \)
Así que usando el principio de inclusión-exclusión
Sea S la cantidad de subconjuntos estando la letra a y b, es decir sin restricciones, \( S=2^7 \)

Condicion1: A no esta en los subconjuntos
Condicion 2: B no esta en los subconjuntos

\( N(C1)=2^6 \)
\( N(C2)=2^6 \)
\( N(C1,C2)=2^5 \)

N(C1,C2)\( =2^7-2*2^6+2^5=32 \)

y ahora iría felizmente a decir que la opción correcta es la A, pero no, según tengo la solución, la correcta es la B, pero no se que estoy haciendo mal.
Gracias

02 Octubre, 2022, 04:53 am
Respuesta #1

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,987
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Una forma :

Número de subconjuntos al que pertenece la a es \( 2^6 \)


Número de subconjuntos al que pertenece la b es \( 2^6 \)

Hay que quitar los subconjuntos al que pertenecen a y b  por el hecho que se están contando dos veces, es decir \( 2^5 \) entonces se tiene \( 2^6+2^6-2^5=96 \)


Saludos

02 Octubre, 2022, 05:07 am
Respuesta #2

Nub

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 344
  • País: 00
  • Karma: +0/-0
Hola

Una forma :

Número de subconjuntos al que pertenece la a es \( 2^6 \)


Número de subconjuntos al que pertenece la b es \( 2^6 \)

Hay que quitar los subconjuntos al que pertenecen a y b  por el hecho que se están contando dos veces, es decir \( 2^5 \) entonces se tiene \( 2^6+2^6-2^5=96 \)


Saludos
Si, había pensado en eso y podria decir que es bastante innecesario usar inclusión-exclusión, pero en mi caso yo estoy errando en decir que el numero de subconjuntos al que NO pertenece a es \( 2^6 \)? porque al usar inclusión-exclusión tengo que por así decirlo negar las condiciones

02 Octubre, 2022, 09:31 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 52,435
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

¿Cuántos subconjuntos del conjunto \( {a, b, c, d, e, f, g} \) contienen la a y/o la b?
Respuestas:
A) 32
B) 96
C) 128

La primera pregunta es ¿como calcular los subconjuntos que no contienen la letra a por ejemplo?
A simple vista diría sacar la a del conjunto y calcular la cantidad de subconjuntos que ahora tendria 6 elementos entonces \( 2^6 \)
Así que usando el principio de inclusión-exclusión
Sea S la cantidad de subconjuntos estando la letra a y b, es decir sin restricciones, \( S=2^7 \)

Condicion1: A no esta en los subconjuntos
Condicion 2: B no esta en los subconjuntos

\( N(C1)=2^6 \)
\( N(C2)=2^6 \)
\( N(C1,C2)=2^5 \)

N(C1,C2)\( =2^7-2*2^6+2^5=32 \)

Es que fíjate lo que haces ahí. LLamas:

\( C1 \)=conjuntos que no contienen a \( a \)
\( C2 \)=conjuntos que no contienen a \( b \)

Entonces estás escribiendo:

\( \#TODOS-(\#C1+\#C2-\#(C_a\cap C_2))=\#TODOS-(\#(C_1\cup C_2)) \)

Pero \( \#(C_1\cup C_2) \) son los conjuntos que no contienen a alguno de los dos elementos; y NO son el complementario de lo que tienes que calcular. Por ejemplo así descontarías un conjunto que contiene a \( a \) pero no a \( b \) y esos NO los quieres descontar. Lo que tu quieres descontar es los que no contienen a ninguna de las dos letras:

\( \#(C_1\cap C_2)=2^5 \)

y así te quedaría:

\( \#TODOS-\#(C_a\cap C_2)=2^7-2^5=96 \).

Saludos.

02 Octubre, 2022, 03:38 pm
Respuesta #4

Nub

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 344
  • País: 00
  • Karma: +0/-0