Autor Tema: ¿Dos vectores son perpendiculares si y solo si el ángulo es \(\pi(2k+1)/2\)?

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22 Septiembre, 2022, 02:21 am
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AlonsOcamasho

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Porfa alguien me puede ayudar con este ejercicio (es el 7 en la imagen adjuntada)

Sean \( \bar{u},\bar{v}\in\Bbb{R}^n \), entonces \( \bar{u}\cdot\bar{v}=0 \) si y solo si \( \theta=\pi(2k+1)/2 \), para cada \( k\in\Bbb{Z} \).

22 Septiembre, 2022, 03:52 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola AlonsOcamasho, bienvenido al foro!!

Recuerda leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del \( \mathrm\LaTeX \) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Está prohibido subir imágenes que reemplacen expresiones matemáticas, y las que se puedan deben insertarse explícitamente en el mensaje. Más información aquí.

Por otro lado, ¿qué intentaste? Es importante que nos digas qué hiciste y qué dudas concretas tienes así podemos ayudarte mejor.


Transcribo el ejercicio 7:

Sean \( \bar{u},\bar{v}\in\Bbb{R}^n \), entonces \( \bar{u}\cdot\bar{v}=0 \) si y solo si \( \theta=\pi(2k+1)/2 \), para cada \( k\in\Bbb{Z} \).

Hay muchos ejemplos. Considera \( n=2 \), \( \bar{u}=\bar{v}=(0,0) \). Haz el producto escalar, verifica que da cero, y si quieres dibuja los dos vectores en el plano. ¿El ángulo que forman es un múltiplo impar de \( \pi/2 \), o sea \( \ldots,\;-3\pi/2,\;-\pi/2,\;\pi/2,\;3\pi/2,\;\ldots \)?

Saludos

22 Septiembre, 2022, 04:36 am
Respuesta #2

delmar

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Hola

Hay que hacer una precisión respecto a ese teorema se cumple si \( \left\|{u}\right\|\neq 0\wedge \left\|{v}\right\|\neq 0 \) para demostrar haz uso \( u\cdot{v}=\left\|{u}\right\| \ \left\|{v}\right\|\ cos \theta \) demuestra en ambos sentidos es decir :

Primero : si \( u\cdot{v}=0\Rightarrow{\theta=\pi(2k+1)/2, \ k\in{Z}} \)

Segundo : si \( \theta=\pi(2k+1)/2, \ k\in{Z}\Rightarrow{u\cdot{v}=0} \)

Concuerdo con  las recomendaciones de manooooh

Saludos

22 Septiembre, 2022, 04:59 am
Respuesta #3

AlonsOcamasho

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manooooh muchas gracias por tus recomendaciones, las aplicaré para mí próxima pregunta.

Delmar muchas gracias por tu respuesta.

¿Entonces puedo sustituir \( k \) por cualquier número entero?
¿O que se debe hacer con la \( k \)?

22 Septiembre, 2022, 08:52 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

¿Entonces puedo sustituir \( k \) por cualquier número entero?
¿O que se debe hacer con la \( k \)?

En realidad el enunciado del ejercicio no me gusta nada.

Por definición el ángulo de dos vectores debería de escogerse en un intervalo concreto de longitud \( 2\pi \) si es orientado o en uno de longitud \( \pi \) si no lo es. No se si había un dibujo para saber exactamente a que se refería con \( \theta \).

Lo único que dice ese resultado es que dos vectores tienen producto escalar cero si tienen un ángulo de \( \pi/2 \) ó \( -\pi/2 \), es decir, si son perpendiculares. Lo que pasa es que si a un ángulo le sumas un múltiplo de \( 2\pi \) realmente es el mismo ángulo, así que al final vale cualquier ángulo:

\( \pi/2+k\pi \)

para cualquier \( k \) entero.

Pero definir el ángulo entre dos vectores como algo que puede tomar infinitos valores puede llegar a ser confuso.

Saludos.