Autor Tema: Posible Demostración Conjetura Collatz

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21 Septiembre, 2022, 09:41 pm
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dancorzem

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¿Es esto una posible demostración de la Conjetura de Collatz?


Posible demostración Conjetura de Collatz


- Conjetura de Collatz definición:

Si un número natural inicial es par, se divide entre dos; y si es impar, se multiplica por tres y se le añade una unidad.

Todos los números naturales acaban en el ciclo 4, 2, 1.

Se tiene que probar de que no diverjan los ciclos al infinito y de que no haya ciclos distintos a 4, 2,

1.


- Demostración Conjetura de Collatz:

Se sabe que el siguiente número a un número impar es un número par, y que después de un número

par, puede haber par o impar. Eso se puede visualizar a través de sistemas de ecuaciones.

- Ciclo 2 elementos:

2n + 1 ==> número impar

2m ==> número par

3(2n + 1) +1 = 2m

(2m) / 2 = 2n + 1

n = -1

- Ciclo 3 elementos:

3(2n + 1) + 1 = 2m

(2m) / 2 = 2L

(2L) / 2 = 2n + 1

n = 0

- Ciclo > 3 elementos:

Impar ==> Par                3(2n + 1) +1 = 2m

Par ==> Par                    (2n) / 2 = 2m

Par ==> Impar                (2n) / 2 = 2m + 1

El único ciclo posible con números naturales es el de 3 elementos con una única solución de n,

n = 0, que si sustituimos a 2n + 1 ==> 2(0) + 1 = 1, cosa que da el ya conocido ciclo 4, 2, 1.

Con 2 elementos da una solución a n negativa, por lo tanto no es válido.

Para más elementos por ciclo, se puede ver que las 3 ecuaciones posibles que se pueden dar

cortan en el 3r cuadrante, donde siempre da negativo.

Y como una de las tres ecuaciones no es paralela a las otras dos, que éstas si son paralelas, siempre

habrá una solución de n, es decir, que los ciclos no divergen, todo lo contrario, siempre convergen a

una solución.

Por lo tanto, como siempre se converge a una solución y sólo existe un ciclo con números naturales,

el 4, 2, 1, la Conjetura de Collatz es cierta.


En el archivo adjunto pone lo mismo que en el post con una foto de las gráficas de las tres ecuaciones.

22 Septiembre, 2022, 11:04 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Yo no veo que demuestres que no puede haber ciclos de longitud mayor que tres. No le veo sentido a como razonas.

 En una sucesión larga de números formados según el algoritmo que define el problema, pueden aparecer por en medio un montón de pares y de impares.

Saludos.

22 Septiembre, 2022, 02:51 pm
Respuesta #2

dancorzem

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Hola, saludos. Es decir, yo al principio vi que con sistemas de ecuaciones, con más elementos pares e impares, siempre me daba negativo y/o fracción (lo miraba con esta calculadora https://matrixcalc.org/es/slu.html). Entonces busqué una razón (sin ser profesional no tengo ni idea :-[) y vi que si se cogen las tres ecuaciones principales daban esas gráficas en el tercer cuadrante. Entonces no sé si se tiene relación.

22 Septiembre, 2022, 06:15 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola, saludos. Es decir, yo al principio vi que con sistemas de ecuaciones, con más elementos pares e impares, siempre me daba negativo y/o fracción (lo miraba con esta calculadora https://matrixcalc.org/es/slu.html). Entonces busqué una razón (sin ser profesional no tengo ni idea :-[) y vi que si se cogen las tres ecuaciones principales daban esas gráficas en el tercer cuadrante. Entonces no sé si se tiene relación.

No; de hecho la cosa es más sutil. Si uno plantea ciertas secuencia (P)par/(I)impar si se obtienen puntos fijos positivos; lo que pasa es que son racionales. Y no es fácil de demostrar que no pueden ser enteros.

Por ejemplo puedes comprobar que si consideras una secuencia I-P-I-P-I-P-P-P se obtiene el punto fijo \( x=19/5 \).

Saludos.

22 Septiembre, 2022, 06:37 pm
Respuesta #4

dancorzem

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Hola, saludos. Ahora me ha quedado claro. Yo ya sabía que algo estaba mal pero no el qué (de nuevo) :-[ Muchas gracias por vuestros comentarios. ;D