Autor Tema: Ayuda bibliográfica para problema de enteros al cubo congruentes modulo 9.

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25 Septiembre, 2022, 02:17 pm
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Paul F Marrero Romero

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Muy buen día tengan ustedes, estimados miembros de El rincón matemático, en esta ocasión vengo en busca de su ayuda respecto a la obtención de material bibliográfico que me ayude a sustentar el hecho de que: Para todo entero a se tiene que \( a^3 \equiv 0, \pm 1 ~~(mod ~~9) \) . Para ser más especifico, yo entiendo el porque de lo anterior, pero hay un resultado que argumenta a lo anterior, el cual es el siguiente:

\( \{a^p ~~mod ~~p^2 :a \in \mathbb{Z}\}=\{a^p ~~mod~~ p^2 : a=0,…,p-1\} \)

y quiero saber como citarlo, es decir los teoremas o resultados exactos que argumenten lo anterior.

PD: No vengo en busca de demostraciones ni nada por el estilo, solo material bibliográfico que me ayude a citar lo anteriormente expuesto.

Muchas gracias de antemano por cualquier ayuda que me puedan brindar.


25 Septiembre, 2022, 03:42 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Muy buen día tengan ustedes, estimados miembros de El rincón matemático, en esta ocasión vengo en busca de su ayuda respecto a la obtención de material bibliográfico que me ayude a sustentar el hecho de que: Para todo entero a se tiene que \( a^3 \equiv 0, \pm 1 ~~(mod ~~9) \) . Para ser más especifico, yo entiendo el porque de lo anterior, pero hay un resultado que argumenta a lo anterior, el cual es el siguiente:

\( \{a^p ~~mod ~~p^2 :a \in \mathbb{Z}\}=\{a^p ~~mod~~ p^2 : a=0,…,p-1\} \)

y quiero saber como citarlo, es decir los teoremas o resultados exactos que argumenten lo anterior.

PD: No vengo en busca de demostraciones ni nada por el estilo, solo material bibliográfico que me ayude a citar lo anteriormente expuesto.

Si estás escribiendo un artículo (nivel investigación seria en matemáticas) donde se usan esos resultados, son suficientemente evidentes como para que tan siquiera haga falta citar ningún sitio donde se pruebe.

En el primero no hay duda: se podría decir "... es claro que..." o "... es evidente que...".

El segundo se podría decir "... como consecuencia del Teorema del Binomio..." y poner la igualdad.

Spoiler
Ya que si \( b=ap+r \) entonces \( b^p=(r+ap)^r=r^p+r^{p-1}ap^2+p^2(\textsf{otros términos}) \) y por tanto \( a^p\equiv b^p \) mod \( p^2 \).
[cerrar]

Si pretendes encontrar un libro o artículos donde venga explícitamente enunciados eso resultados, para poder citarlo, a lo mejor no es tan fácil. Precisamente porque son muy sencillos. Lo más común es que aparezcan como ejercicios.

Saludos.

26 Septiembre, 2022, 05:23 am
Respuesta #2

Paul F Marrero Romero

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¡Excelente! Muchisimas gracias por su ayuda, profesor Fuentes, me han resultado de mucha utilidad sus indicaciones ya que estaba bastante perdido en cómo resolver este asunto.

Saludos.