Autor Tema: Iteraciones densas

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

18 Septiembre, 2022, 07:47 am
Leído 181 veces

Esthercita

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 4
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
Un conjunto \( M \) de números reales se dice denso en \( \Bbb R \) si todo intervalo abierto no vacío\( ]a, b[ \) de \( \Bbb R \) contiene al menos un elemento de \( M \). Sea\(  f :\Bbb R\to \Bbb R \) una función. Diremos que \( f \) se propaga en el punto \( p\in \Bbb R \) si el conjunto de iteraciones  \( \{f(p), f^2 (p), \ldots, f ^k(p),\ldots\} \) es denso en R, donde \( f^k(p) \) es la \( k \)-ésima iteración de \( f \) en el punto \( p \).

1- ¿Existe un polinomio real \( p(x)=a_nx^n + · · · + a_1x + a_0 \) de grado \( n \) que se propague en \( 0 \)?
Comience por estudiar los casos \( n\in \{1,2,3\} \).

2. Denotemos por \( C(\Bbb R) \) de funciones continuas de \( \Bbb R \)  a \( \Bbb R \)  y por \( S_p(\Bbb R) \) al subconjunto de funciones continuas que se propagan en el punto \( p \). Estudie las propiedades de estos subconjuntos. Por ejemplo, ¿es \( S_p(\Bbb R) \) infinito? ¿no numerable?

3. ¿Existe una función que se propague en un sólo punto? Describa la intersección de \( S_p(\Bbb R) \) y
\( S_q(\Bbb R) \)para \( p,q\in \Bbb R \).

Hola a todos, disculpen. He estado intentando resolver estos ejercicios pero me he complicado. ¿Alguien me podría ayudar, por favor.?

Mensaje corregido desde la administración.

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

19 Septiembre, 2022, 06:41 pm
Respuesta #1

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,307
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hiperinteresante, pero lo leo y me veo incapaz de echar un cable. Lo siento, pero, ¿qué es propagación de una función?; ¿iteraciones son referidas a sus sucesivas derivadas?
¿En qué terreno de las matemáticas se encuadra?¿Cálculo?

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

19 Septiembre, 2022, 08:42 pm
Respuesta #2

Esthercita

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 4
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
Hola, con iteración de una función en un punto p, se refiere a la composición de f consigo misma una cierta cantidad de veces y evaluada en p. Por ejemplo,\(  f^2(p) = f(f(p)) \) y con respecto a que se propague según lo que dice el apunte del que saqué el ejercicio es que el conjunto cuyos elementos son las sucesivas iteraciones sea denso en los reales...según lo define en el enunciado. Disculpa si mi respuesta no es para nada clarificadora, pero es que si te soy sincera soy nueva en todo esto.
Ahora, tenía una idea para la pregunta 1 pero no sé si servirá. Esta es de considerar el conjunto de iteraciones como una sucesión {\( f^k(p) \)} y si esta es convergente o divergente llegar a concluir de que el conjunto es o no denso. Para el polinomio de grado uno es fácil deducir una expresión para la k-ésima iteración. Y demostrar lo dicho anteriormente, sin embargo, esto no sirve para polinomios de grado mayor...así que ahí estoy estancada.
Gracias por tu respuesta, y disculpa nuevamente por las faltas que pueda contener mi redacción. Saludos!

19 Septiembre, 2022, 11:29 pm
Respuesta #3

martiniano

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,987
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

Interesante problema.

Ahora, tenía una idea para la pregunta 1 pero no sé si servirá. Esta es de considerar el conjunto de iteraciones como una sucesión {\( f^k(p) \)} y si esta es convergente o divergente llegar a concluir de que el conjunto es o no denso.

En efecto, si la sucesión es convergente puedes deducir que el conjunto no es denso. De hecho basta con que la sucesión esté acotada superior o inferormente. Y eso te sirve para demostrar que los polinomios de grado par no se propagan en ningún punto al tener todos ellos mínimo o máximo. Pero el recíproco es falso, por ejemplo la función dada por \[ f(x) =2x \] genera en \[ p=2 \] la sucesión de las potencias de 2, que es divergente pero no es ni mucho menos densa en \[ \mathbb{R} \].

Una cosilla sobre el 3. No existen funciones que se propaguen en un solo punto. Si a un conjunto denso en \[ \mathbb{R} \] le quitas un elemento el conjunto sigue siendo denso en \[ \mathbb{R} \], por lo que si \[ \{f(p), f^2(p),...,f^k(p),...\} \] fuera denso también lo sería \[ \{f^2(p),...,f^k(p),...\} \] y \[ f \] se propagaría en \[ f(p) \neq p \].

No es mucho pero de momento no tengo nada más.

Un saludo.

20 Septiembre, 2022, 11:22 am
Respuesta #4

martiniano

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,987
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

Para polinomios de grado mayor que uno con coeficiente de mayor grado positivo podemos utilizar que existe \[ M\in{\mathbb{R}} \] tal que para todo \[ x>M \] es \[ f(x) >x \] y por inducción \[ f^n(x) >x \].

Ahora supongamos que \[ \{f(p),..., f^k(p),... \}  \] es denso en \[ \mathbb{R} \], entonces existe un mínimo \[ m\in{\mathbb{N}} \] tal que \[ f^m(p) >M \]. Pero para todo \[ n>m \] será \[ f^n(p) >f^m(p)  \] por lo que no habrá ningún elemento del conjunto en el intérvalo \[ (M, f^m(p) )  \] y esto es contradictorio.

Para polinomios con coeficiente de mayor grado negativo es muy parecido.

Si algo no ha quedado claro insiste por aquí. Si lo entiendes bien puedes intentar el caso de polinomios de grado 1, seguro que ahora te sale.

Un saludo.

20 Septiembre, 2022, 11:28 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 51,769
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

Hola.

Interesante problema.

Ahora, tenía una idea para la pregunta 1 pero no sé si servirá. Esta es de considerar el conjunto de iteraciones como una sucesión {\( f^k(p) \)} y si esta es convergente o divergente llegar a concluir de que el conjunto es o no denso.

En efecto, si la sucesión es convergente puedes deducir que el conjunto no es denso. De hecho basta con que la sucesión esté acotada superior o inferormente. Y eso te sirve para demostrar que los polinomios de grado par no se propagan en ningún punto al tener todos ellos mínimo o máximo. Pero el recíproco es falso, por ejemplo la función dada por \[ f(x) =2x \] genera en \[ p=2 \] la sucesión de las potencias de 2, que es divergente pero no es ni mucho menos densa en \[ \mathbb{R} \].

Para los impares tampoco. Teniendo en cuenta que \( f\circ f \) siempre será un polinomio con coeficiente principal positivo, a partir de un cierto valor de \( x \) será estrictamente creciente, con lo que la sucesión de interantes diverge y no puede ser densa en todo \( \Bbb R \).

Véase el comentario de martiniano.

2. Denotemos por \( C(\Bbb R) \) de funciones continuas de \( \Bbb R \)  a \( \Bbb R \)  y por \( S_p(\Bbb R) \) al subconjunto de funciones continuas que se propagan en el punto \( p \). Estudie las propiedades de estos subconjuntos. Por ejemplo, ¿es \( S_p(\Bbb R) \) infinito? ¿no numerable?

Es curioso porque construir un ejemplo de una tal función, que sería lo primero que a uno se le ocurre para estudiar el problema no es tan sencillo. Aquí viene un ejemplo:

https://mathoverflow.net/questions/358829/existence-of-continuous-map-on-real-numbers-with-dense-orbit

No obstante si uno es capaz de construir una familia de ejemplos dependiendo de un parámetro real (y parece que es razonable pensar que si), entonces al menos habría una cantidad de ejemplo del cardinal del continuo. Como las funciones continuas tienen ese mismo cardinal; el cardina del funciones continuas que se propagan en un punto será exactamente el del continuo.

Citar
3. ¿Existe una función que se propague en un sólo punto? Describa la intersección de \( S_p(\Bbb R) \) y
\( S_q(\Bbb R) \)para \( p,q\in \Bbb R \).

Más allá de lo apuntado por martiniano, tampoco se me ocurre mucho más que decir respecto a esa intersección.

Saludos.

CORREGIDO.

20 Septiembre, 2022, 11:50 am
Respuesta #6

martiniano

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,987
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

Para los impares tampoco. Teniendo en cuenta que \( f\circ f \) siempre será un polinomio con coeficiente principal positivo, a partir de un cierto valor de \( x \) será estrictamente creciente, con lo que la sucesión de interantes diverge y no puede ser densa en todo \( \Bbb R \).

Disculpa Luis pero no entiendo esto. Si no voy mal, que la función sea creciente no garantiza que la sucesión obtenida diverja. Por elemplo, si tomas \[ f(x) =\sqrt[ ]{x} \], que es creciente en su dominio obtienes una sucesión que tiende a cero si tomas \[ p=0 \] y a uno en otro caso. Además, para que la sucesión sea densa necesitas que diverja, ¿no?

¿Es posible que estés pensando en algo parecido a esto?

Para polinomios de grado mayor que uno con coeficiente de mayor grado positivo podemos utilizar que existe \[ M\in{\mathbb{R}} \] tal que para todo \[ x>M \] es \[ f(x) >x \] y por inducción \[ f^n(x) >x \].

Ahora supongamos que \[ \{f(p),..., f^k(p),... \}  \] es denso en \[ \mathbb{R} \], entonces existe un mínimo \[ m\in{\mathbb{N}} \] tal que \[ f^m(p) >M \]. Pero para todo \[ n>m \] será \[ f^n(p) >f^m(p)  \] por lo que no habrá ningún elemento del conjunto en el intérvalo \[ (M, f^m(p) )  \] y esto es contradictorio.

Para polinomios con coeficiente de mayor grado negativo es muy parecido.

Un saludo.

20 Septiembre, 2022, 11:54 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 51,769
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

Para los impares tampoco. Teniendo en cuenta que \( f\circ f \) siempre será un polinomio con coeficiente principal positivo, a partir de un cierto valor de \( x \) será estrictamente creciente, con lo que la sucesión de interantes diverge y no puede ser densa en todo \( \Bbb R \).

Disculpa Luis pero no entiendo esto. Si no voy mal, que la función sea creciente no garantiza que la sucesión obtenida diverja. Por elemplo, si tomas \[ f(x) =\sqrt[ ]{x} \], que es creciente en su dominio obtienes una sucesión que tiende a cero si tomas \[ p=0 \] y a uno en otro caso. Además, para que la sucesión sea densa necesitas que diverja, ¿no?

¿Es posible que estés pensando en algo parecido a esto?

Para polinomios de grado mayor que uno con coeficiente de mayor grado positivo podemos utilizar que existe \[ M\in{\mathbb{R}} \] tal que para todo \[ x>M \] es \[ f(x) >x \] y por inducción \[ f^n(x) >x \].

Ahora supongamos que \[ \{f(p),..., f^k(p),... \}  \] es denso en \[ \mathbb{R} \], entonces existe un mínimo \[ m\in{\mathbb{N}} \] tal que \[ f^m(p) >M \]. Pero para todo \[ n>m \] será \[ f^n(p) >f^m(p)  \] por lo que no habrá ningún elemento del conjunto en el intérvalo \[ (M, f^m(p) )  \] y esto es contradictorio.

Para polinomios con coeficiente de mayor grado negativo es muy parecido.

Si tienes razón; diverger lo usaba en el sentido de irse a infinito. Pero me lié. Borro lo dicho.

Saludos.

23 Septiembre, 2022, 02:50 am
Respuesta #8

Esthercita

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 4
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
Hola, muchas gracias por sus respuestas. Me he quedado con una duda, ¿Por qué para que la sucesión sea densa debe diverger?
Tengo lo siguiente, pero no estoy segura de si es correcto.
Supongamos que la sucesión A=(\( f^k(p) \)) diverge. Entonces existe \( Z \)>0 y existe \( M\in \Bbb N \) tal que\( |f^k(p)|>Z \forall{k\geq{M}} \)   .Sea \( x\in{(-Z,Z)} \). Luego, no existe {\( x_n \)}\( \subseteq{A} \) tal que \( x_n \)\( \rightarrow{x} \) pues si consideramos \( d=min_(x,x_n)\,  con \, n\leq{M}  \) vemos que \( (x-d/2,x+d/2)\cap{(x_n)}=\emptyset \) Y con esto se concluye que si \( (f^k(p)) \) diverge, entonces, no es denso en \( \mathbb{R} \). ¿O estoy cometiendo un error?
Saludos! y desde ya muchas gracias.

23 Septiembre, 2022, 09:57 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 51,769
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

Hola, muchas gracias por sus respuestas. Me he quedado con una duda, ¿Por qué para que la sucesión sea densa debe diverger?
Tengo lo siguiente, pero no estoy segura de si es correcto.
Supongamos que la sucesión A=(\( f^k(p) \)) diverge. Entonces existe \( Z \)>0 y existe \( M\in \Bbb N \) tal que\( |f^k(p)|>Z \forall{k\geq{M}} \)   .Sea \( x\in{(-Z,Z)} \). Luego, no existe {\( x_n \)}\( \subseteq{A} \) tal que \( x_n \)\( \rightarrow{x} \) pues si consideramos \( d=min_(x,x_n)\,  con \, n\leq{M}  \) vemos que \( (x-d/2,x+d/2)\cap{(x_n)}=\emptyset \) Y con esto se concluye que si \( (f^k(p)) \) diverge, entonces, no es denso en \( \mathbb{R} \). ¿O estoy cometiendo un error?
Saludos! y desde ya muchas gracias.

Pero eso que escribe no es que diverja. No sé que estás entendiendo por diverge. Suele entenderse:

- Que no converja.
- Que converja a infinito.

Lo que has escrito no corresponde a ninguno de los dos casos.

Lo que se cumple es que si converge a un número real o a infinito es imposible que sea densa. La idea es sencilla: en ese caso salvo un número finito de términos todos los demás se acumulan en un intervalo del tipo \( (a,b) \) ó \( (a,+\infty) \) o \( (a,-\infty) \). For tanto basta tomar un abierto disjunto de éste, y que no contenga a los puntos de la sucesión que están fuera (puede hacerse porque son un número finito) para tener la no densidad.

El recíproco no es cierto. Puede que la sucesión no converja y sin embargo NO ser densa. Como ejemplo una alternante que vaya oscilando entre \( 1 \) y \( -1 \). Obviamente no es densa.

Saludos.