Autor Tema: Unidad de un anillo

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21 Septiembre, 2022, 04:14 pm
Respuesta #10

athairdos

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Gracias; cuando escribi si \( p(x) \) y \( \{(x-1); (x+1)\} \) eran asociados me referia a si eran asociados por separado; es decir, si \( p(x) \) y \( (x-1) \) eran asociados, y \( p(x) \) y \( (x+1) \) eran asociados (?). Tampoco es asi de esta manera?

En los ejercicios de la sección plantea el tema de la reductibilidad de varios polinomios en determinados dominios (modulares etc). Por ejemplo el polinomio \( x^{2}+1 \) no es reducible sobre \( \mathbb{Z_{3}} \), pero sí lo es sobre \( \mathbb{Z_{5}} \).

Ello implica que en \( \mathbb{Z_{5}} \) se puede factorizar; y que tiene divisores propios (por ejemplo \( (x-3) \), o \( (x-3)_{mod3} \))? Se podria dividir tambien por los asociados de \( (x-3) \); esto tiene alguna relevancia?

En cambio, sobre el dominio \( \mathbb{Z_{3}} \) no tiene factores (ni divisores propios)? Esto permite decir que es irreductible en \( \mathbb{Z_{3}} \)?

Suponiendo q en ambos casos fuera afirmativa la respuesta, ello implicaria que en alguno de los dos dominios podria el polinomio \( x^{2}+1 \) ser una unidad y/o tener asociados?

Gracias

21 Septiembre, 2022, 05:11 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

Gracias; cuando escribi si \( p(x) \) y \( \{(x-1); (x+1)\} \) eran asociados me referia a si eran asociados por separado; es decir, si \( p(x) \) y \( (x-1) \) eran asociados, y \( p(x) \) y \( (x+1) \) eran asociados (?). Tampoco es asi de esta manera?

No lo son. Para que \( a \) y \( b \) sean asociados simultáneamente tiene que ocurrir que \( a \) es divisor de \( b \) y viceversa.

Pero en este caso \( p(x)=x^2-1 \) no es divisor de \( x-1 \).

En los ejercicios de la sección plantea el tema de la reductibilidad de varios polinomios en determinados dominios (modulares etc). Por ejemplo el polinomio \( x^{2}+1 \) no es reducible sobre \( \mathbb{Z_{3}} \), pero sí lo es sobre \( \mathbb{Z_{5}} \).

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Ello implica que en \( \mathbb{Z_{5}} \) se puede factorizar; y que tiene divisores propios (por ejemplo \( (x-3) \), o \( (x-3)_{mod3} \))? Se podria dividir tambien por los asociados de \( (x-3) \); esto tiene alguna relevancia?

Se tiene que en \( \mathbb{Z_{5}}[x] \), \( x^2+1=(x+2)(x+3) \). Los asociados de \( (x+3) \) son \( 2(x+3) \),\( 3(x+4) \),\( 4(x+3) \). Y no se; no tiene especial relevancia.

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En cambio, sobre el dominio \( \mathbb{Z_{3}} \) no tiene factores (ni divisores propios)? Esto permite decir que es irreductible en \( \mathbb{Z_{3}} \)?

Si, \( x^2+1 \) es irreducible en \( \Bbb Z_3[x] \).

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Suponiendo q en ambos casos fuera afirmativa la respuesta, ello implicaria que en alguno de los dos dominios podria el polinomio \( x^{2}+1 \) ser una unidad y/o tener asociados?

No, no es una unidad. Te complicas. Para entender las unidades olvídate de los asociados. Un elemento es una unidad si tiene inverso. Si \( A \) es un dominio, ningún polinomio \( p(x)\in A[x] \) de grado mayor que cero va a ser una unidad; nunca va a tener inversa.

Saludos.

21 Septiembre, 2022, 10:08 pm
Respuesta #12

athairdos

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Gracias!

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Un comentario un tanto tangencial sobre esto, pero que puede llevar a bastante confusión más adelante. Los elementos que no son unidades ni tienen divisores propios se llaman irreducibles (o irreductibles). Pero por elemento primo normalmente se entiende otra cosa: un elemento a de un dominio A se dice que es primo si el ideal que genera, (a), es un ideal primo.
Estas dos nociones no son equivalentes en general, por eso es mejor no llamar "primos" a los elementos irreducibles.

En cualquier dominio se cumple que todo elemento primo es también irreducible, pero el recíproco no es verdadero en general. Sí lo es si el dominio es DFU, que ocurre en muchos casos en la práctica, por eso en Z por ejemplo no hay distinción entre ambos conceptos.
en el libro, en otro capitulo hay un ejemplo de un un dominio que no es de FU y donde, al parecer aplicando ideales (productos de ideales, si no recuerdo mal), se logra factorizar de forma unica a los elementos.

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Un elemento es una unidad si tiene inverso. Si \( A \) es un dominio, ningún polinomio \( p(x)\in A[x] \) de grado mayor que cero va a ser una unidad; nunca va a tener inversa.


Esto estaba observado en el libro, sin embargo no esta suficientemente contextualizado, de modo que no lo había podido incorporar; así que muy agradecido.

Más adelante seguramente tenga otras dudas a al hacer otros ejercicios. Un saludo, gracias


22 Septiembre, 2022, 11:15 am
Respuesta #13

geómetracat

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en el libro, en otro capitulo hay un ejemplo de un un dominio que no es de FU y donde, al parecer aplicando ideales (productos de ideales, si no recuerdo mal), se logra factorizar de forma unica a los elementos.
Supongo que te refieres a que para cada elemento \( a \) no nulo del anillo, el ideal que genera, \( (a) \), se puede expresar de forma única como producto de ideales primos. Esto ocurre en los llamados anillos (o dominios) de Dedekind. En efecto, hay ejemplos de anillos de Dedekind que no son DFU, como \( \Bbb Z[\sqrt{-5}] \). En este ejemplo tienes que hay elementos irreductibles que no son primos.

De todas formas ten en cuenta que hay dominios que ni son DFU ni son de Dedekind, de forma que no puedes tener factorización es únicas ni pasando a ideales.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

26 Septiembre, 2022, 08:18 pm
Respuesta #14

athairdos

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Gracias, recién veo la respuesta; después trataré de razonarla y ver si lo puedo conectar con algo del libro. Saludos (PD: el punto estaba en la sección de factorización en campos cuadráticos; mediante uso de congruencias módulo 4, etc.)


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