Autor Tema: Ejercicio sobre cálculo de probabilidades utilizando combinatoria

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15 Septiembre, 2022, 03:42 am
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Rania

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
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Hola podrían ayudarme con el siguiente ejercicio,

1) Un grupo de 60 alumnos será subdividido al azar en dos divisiones de 30 alumnos cada una. Cinco de esos alumnos son muy amigos.: Alicia, Beto, Carmen, Diego y Eva.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos queden en la misma división?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo quede separado Diego?

No se me ocurre como pensar que todos queden en la misma división, o sea , como hacer que queden fijos en un conjunto de 30. Es decir, de un conjunto de 60 , quiero todas las posibles formas de armar  subconjuntos diferentes de 30 alumnos, pues los divide en 2 divisiones, pero eso no me ayuda con mi problema. En realidad quiero que 5 queden fijos y todas las posibles formas de combinar los 25 restantes y por otro lado, tener en cuenta  la otra división de 30 alumnos.
Perdón estoy confundida, ¿alguna pista usando combinaciones , variaciones , permutaciones?. Es que estuve leyendo pero no veo cuál es la vuelta para este problema.

15 Septiembre, 2022, 03:49 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola podrían ayudarme con el siguiente ejercicio,

1) Un grupo de 60 alumnos será subdividido al azar en dos divisiones de 30 alumnos cada una. Cinco de esos alumnos son muy amigos.: Alicia, Beto, Carmen, Diego y Eva.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos queden en la misma división?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo quede separado Diego?

No se me ocurre como pensar que todos queden en la misma división, o sea , como hacer que queden fijos en un conjunto de 30. Es decir, de un conjunto de 60 , quiero todas las posibles formas de armar  subconjuntos diferentes de 30 alumnos, pues los divide en 2 divisiones, pero eso no me ayuda con mi problema. En realidad quiero que 5 queden fijos y todas las posibles formas de combinar los 25 restantes y por otro lado, tener en cuenta  la otra división de 30 alumnos.
Perdón estoy confundida, ¿alguna pista usando combinaciones , variaciones , permutaciones?. Es que estuve leyendo pero no veo cuál es la vuelta para este problema.

A ver si esto te ayuda: imagina a los \( 60 \) alumnos como un conjunto, ¿cuántos subconjuntos diferentes de \( 30 \) elementos hay? Y de esos subconjuntos, ¿cuántos contienen lo que quieres (o sea, todos los amigos, o todos menos Diego)? La probabilidad será la división de los casos que te interesan entre todos los casos posibles, es decir, para a) sería

\( \displaystyle{
\frac{\text{ número de subconjuntos diferentes de 30 alumnos que tienen a todos los amigos }}{\text{ número de subconjuntos diferentes de 30 alumnos }}=\frac{\binom{60-5}{30-5}}{\binom{60}{30}}
} \)

Añadido: el cálculo anterior nos indica cuál es la probabilidad de que los cinco amigos aparezcan juntos en una división determinada, es decir que \( \binom{60-5}{30-5}/\binom{60}{30} \) sería la probabilidad de que apareciesen, por ejemplo, en la primera división. Si la probabilidad de aparecer en una división determinada es esa entonces la probabilidad de que aparezcan en cualquiera de ellas es la suma de ambas, es decir que la probabilidad de que los amigos estén juntos en la primera o la segunda división es \( 2\cdot\binom{60-5}{30-5}/\binom{60}{30} \).

Para la parte b) del ejercicio sería un desarrollo similar, con la solución \( 2\cdot \binom{60-5}{30-4}/\binom{60}{30} \)

15 Septiembre, 2022, 04:03 am
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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Para el espacio total tienes \( \displaystyle \binom{60}{30}  \) elementos.
Para el que buscas te quedan \( \displaystyle \binom{55}{  25 \ 30 } \cdot 2  \) posibilidades,  la probabilidad será aproximadamente \( \dfrac{117}{2242} \)

Para el segundo:

\( \displaystyle \binom{55}{ 24 \ 31} \cdot 2  \) posibilidades, la probabilidad será aproximadamente \( \dfrac{2925}{69502} \)

Es un problema de particiones , sacas a los cinco que quieres que estén juntos y te quedan 55 personas, haces la partición 25 personas en un grupo y trenta en el otro y miras todos los posibles resultados, luego sólo hay que añadir los cincos elementos a cada subconjunto de 25 personas.

Editado

Se adelantó Masacroso.

Veo que me sobra un dos en los dos casos.


15 Septiembre, 2022, 09:40 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

\( \displaystyle{
\frac{\text{ número de subconjuntos diferentes de 30 alumnos que tienen a todos los amigos }}{\text{ número de subconjuntos diferentes de 30 alumnos }}=\frac{\binom{60-5}{30-5}}{\binom{60}{30}}
} \)

Ojo. También tienes que contar los subconjuntos no contienen a ninguno de los cinco amigos (y por tanto los cinco quedaron en el mismo grupo de "descartados"). Es decir es como dice Juan Pablo:

\( \dfrac{\binom{60-5}{30-5}+\binom{60-5}{30}}{\binom{60}{30}}=\dfrac{2\binom{55}{25}}{\binom{60}{30}} \)

Para el espacio total tienes \( \displaystyle \binom{60}{30}  \) elementos.
Para el que buscas te quedan \( \displaystyle \binom{55}{  25 \ 30 } \cdot 2  \) posibilidades,  la probabilidad será aproximadamente \( \dfrac{117}{2242} \)

Se me hace rara la notación: \( \displaystyle \binom{55}{  25 \ 30 }  \). Supongo que equivale a \( \displaystyle \binom{55}{25}  \)

Para el segundo:

\( \displaystyle \binom{55}{ 24 \ 31} \cdot 2  \) posibilidades, la probabilidad será aproximadamente \( \dfrac{2925}{69502} \)

Este no está bien; pero creo que pensaste que Diego era otra persona adicional fuera de esos cinco amigos

En este caso contamos la forma de seleccionar un grupo con los cuatro amigos pero sin Diego, \( \displaystyle \binom{55}{26}  \) o un grupo con Diego pero sin ninguno de los otros cuatro \( \displaystyle \binom{55}{29}  \):

\( \dfrac{2\binom{55}{26}}{\binom{60}{30}} \)

Saludos.

15 Septiembre, 2022, 04:53 pm
Respuesta #4

Masacroso

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Hola

\( \displaystyle{
\frac{\text{ número de subconjuntos diferentes de 30 alumnos que tienen a todos los amigos }}{\text{ número de subconjuntos diferentes de 30 alumnos }}=\frac{\binom{60-5}{30-5}}{\binom{60}{30}}
} \)

Ojo. También tienes que contar los subconjuntos no contienen a ninguno de los cinco amigos (y por tanto los cinco quedaron en el mismo grupo de "descartados"). Es decir es como dice Juan Pablo:

\( \dfrac{\binom{60-5}{30-5}+\binom{60-5}{30}}{\binom{60}{30}}=\dfrac{2\binom{55}{25}}{\binom{60}{30}} \)

Ok, sí, olvidé diferenciar entre las dos divisiones así que la probabilidad hay que duplicarla. Ahora edito mi mensaje anterior para aclararlo.

15 Septiembre, 2022, 11:51 pm
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

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Se me hace rara la notación: \( \displaystyle \binom{55}{  25 \ 30 }  \). Supongo que equivale a \( \displaystyle \binom{55}{25}  \)

Para el segundo:

\( \displaystyle \binom{55}{ 24 \ 31} \cdot 2  \) posibilidades, la probabilidad será aproximadamente \( \dfrac{2925}{69502} \)

Este no está bien; pero creo que pensaste que Diego era otra persona adicional fuera de esos cinco amigos

En este caso contamos la forma de seleccionar un grupo con los cuatro amigos pero sin Diego, \( \displaystyle \binom{55}{26}  \) o un grupo con Diego pero sin ninguno de los otros cuatro \( \displaystyle \binom{55}{29}  \):

\( \dfrac{2\binom{55}{26}}{\binom{60}{30}} \)

Saludos.

Lo intenté usando la partición de un conjunto , vamos \( \displaystyle \binom{n}{r_1 \ r_2 \cdots  r_n} = \dfrac{n!}{r_1! \cdots r_n!}  \).

Quito los cinco amigos del conjunto y hago la partición mencionada \( \binom{55}{25 \ 30} \) y en la parte que tiene 25 individuos le pongo los cinco amigos.

Para la segunda parte quito otra vez los cinco, y tengo los 55 individuos y hago otra vez una partición de dos subconjuntos una que que den los cuatro \( 30 -4 = 26 \) y la otra que quede Diego \( 30-1 = 29 \) vamos \( \displaystyle\binom{55}{26 \  29}  \) la verdad no sé por que puse \( \displaystyle\binom{55}{24 \ 31}  \).

16 Septiembre, 2022, 09:21 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Lo intenté usando la partición de un conjunto , vamos \( \displaystyle \binom{n}{r_1 \ r_2 \cdots  r_n} = \dfrac{n!}{r_1! \cdots r_n!}  \).

Ah, ok. Se me hacía rara la notación cuando la partición es sólo en dos trozos porque al fin y al cabo coincide con el número combinatorio.

Saludos.