Autor Tema: ¿Existen dígitos no naturales conformando un número?

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12 Septiembre, 2022, 12:41 am
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manooooh

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Hola!

Mientras escribía una respuesta para [Septiembre 2022] Juegos Mentales Revista Selecciones Argentina:

2. Vacación de ensueño

Spoiler
Sea el número \( n=xyzt \), con \( 0<x\leq9 \), \( 0\leq y,z,t\leq9 \).

Se desea maximizar \( n \). Tenemos las siguientes restricciones:

- \( x\lor y\lor z\lor t=5 \)
- \( y=2x \)
- \( t=z+2 \)

La \( x \) debe ser la mayor, y se da cuando \( x=4 \) pues \( y=8 \) (si fuera \( x>4 \) tendríamos dos dígitos).

Luego \( n=48zt \). Como debe haber un \( 5 \), tenemos dos opciones:

1) \( z=5 \) y \( t=7 \).
2) \( z=3 \) y \( t=5 \).

Se descarta 2) pues no se lograría el mayor número. Por lo tanto \( n=4857 \).
[cerrar]

Pensé si existía alguna manera de tener números conformados por dígitos que no son naturales ni cero.

Es decir, supongo que se escribe así, sabemos que cualquier número (desde natural hasta real) se puede escribir como \( n=\pm\overline{x_1x_2\cdots x_i\cdots}\in\Bbb{R} \) con \( x_i\in\Bbb{N}_0 \) salvo \( x_1\in\Bbb{N} \). En primer lugar quería saber si esto es una definición correcta y estándar.

Por ejemplo \( 2/3=0.66\ldots \), \( -e=-2.7182\ldots \) pero, ¿existe algo como \( n_1=46.49\frac1375 \) o \( n_2=0.6530\pi53 \)?

Gracias!!
Saludos

AGREGADO

12 Septiembre, 2022, 04:21 am
Respuesta #1

Richard R Richard

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Es decir, supongo que se escribe así, sabemos que cualquier número (desde natural hasta real) se puede escribir como \( n=\pm\overline{x_1x_2\cdots x_i\cdots}\in\Bbb{R} \) con \( x_i\in\Bbb{N}_0 \) salvo \( x_1\in\Bbb{N} \).

Creo que no estaría respondiendoo a tu pregunta de fondo pero podrías aclarar tu definición

Como escribirias el cero si \( x_1\in\Bbb{N} \) para mi  \( x_i\in\Bbb{N}_0\,\forall i\in \Bbb{N}_0 \)

Por ejemplo \( 2/3=0.66\ldots \), \( -e=-2.7182\ldots \) pero, ¿existe algo como \( n_1=46.49\frac1375 \) o \( n_2=0.6530\pi53 \)?

¿Cual es la posición del dígito recuadrado ?  \( n_1=46.49\frac13\boxed{7}5 \)
¿cual es la diferencia entre \( n_1 \) y este número \( n_2=46.490\tilde{3}? \)
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

12 Septiembre, 2022, 09:17 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Pensé si existía alguna manera de tener números conformados por dígitos que no son naturales ni cero.

Es decir, supongo que se escribe así, sabemos que cualquier número (desde natural hasta real) se puede escribir como \( n=\pm\overline{x_1x_2\cdots x_i\cdots}\in\Bbb{R} \) con \( x_i\in\Bbb{N}_0 \) salvo \( x_1\in\Bbb{N} \). En primer lugar quería saber si esto es una definición correcta y estándar.

Esa representación depende de la base. En base \( b \) todo número real se expresa de la forma:

\( x_nx_{n-1}\ldots x_1x_0'x_{-1}x_{-2}\ldots x_{-i}\ldots \) con \( x_i\in\{0,1,2\ldots,b-1\},\quad x_n\neq 0 \)

La representación es única salvo para los números racionales que pueden representarse con una cadena final infinita de ceros o \( n-1 \). Por ejemplo en base \( 10 \)

\( 1=0.99999\ldots \)
\( 0.023=0.022999999999\ldots \)

El significado de esa respresentación es que el correspondiente número corresponde a la serie:

\( \displaystyle\sum_{i=-n}^\infty{}x_{-i}\cdot b^{-i} \)

Por ejemplo en base \( 10 \):

\( 1.3=1\cdot 10^0+3\cdot 10^{-1} \)

Entonces si por ejemplo uno permite que los \( x_i \) estén en el intervalo \( (0,b) \) pero sean reales; entonces esta representación no sería en absoluto única es decir, diferentes series sumarían un mismo número.

Otro punto de vista de una generalización es considerar el cuerpo de series formales de la forma:

\( \displaystyle\sum_{i=-n}^\infty{}a_{-i}x^{-i} \) donde \( n\in \Bbb N \) y \( a_i\in \Bbb R \)

Saludos.