Autor Tema: Palíndromos Combinatoria

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02 Septiembre, 2022, 02:49 am
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AldoPaolo

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Ayuda con el siguiente problema de Combinatoria por favor:
Un palíndromo es una cadena que se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha. ¿Cuántas cadenas de n letras son palíndromos?

02 Septiembre, 2022, 04:38 am
Respuesta #1

Richard R Richard

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Una cadena que es un palidromo, tiene el último elemento exactamente igual al primero, el penúltimo igual al segundo, así hasta llegar a la mitad de la cadena.

Si suponemos que al decir "leer" estamos pensando que la cadena esta compuesta por elementos del conjunto de "letras del alfabeto español" que son 27 posibles por posición , si consideramos que la cadena admite repetición tienes \( 27^n \) cadenas posibles, y solo serán palindromos aquellas en que la primer mitad sea igual a segunda mitad pero invertida en orden, solo hay 1 caso exitoso cada \( 27^{(\frac{n}{2})} \) casos posibles , la cantidad de palidromos surge de dividirlos , aunque hay que ser mas precisos si \( n \) es impar,  y como mínimo \( n\geq2 \).

\( \begin{pmatrix} 27^{(\frac{n}{2})}&\text{ si n es par}\\27^{(\frac{n+1}{2})}&\text{ si n es impar}\end{pmatrix} \)

en el caso que no haya repeticiones hasta la primer mitad de la cadena, (cosa que no se aclara en el enunciado y en este caso la cadena solo podría tener un largo máximo hasta \( n=54 \) elementos) y se cumple

\( \begin{pmatrix} \dfrac{27!}{(27-\dfrac{n}{2})!}&\text{ si n es par}\\ \dfrac{27!}{(27-\dfrac{n+1}{2})!}&\text{ si n es impar}\end{pmatrix} \)




Pd para cualquier otro conjunto de elementos que no sean las 27 letras para tener generalidad reemplazas 27 por un valor arbitrario \( m \) siendo este \( m \) el número total de elementos diferentes del conjunto. Ej el conjunto de los naturales de una sola cifra tiene \( m=10 \) , los números del 0 al 9,.... El alfabeto ingles tiene solo 26 letras ..etc.

Saludos
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)