Autor Tema: Hiperboloide elíptico de una hoja.

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31 Agosto, 2022, 05:22 pm
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Albersan

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Hola, ¿cómo están?,

Quisiera qua me ayudaran con lo siguiente:

Demuestre que cada punto de un hiperboloide elíptico de una hoja es la intersección de dos líneas que pertenecen completamente a la superficie del hiperboloide.

Por ejemplo        \( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}-\displaystyle\frac{z^2}{c^2}=1 \)


Muchas Gracias

31 Agosto, 2022, 06:48 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

  • "Há tantos burros mandando em homens de inteligência, que, às vezes, fico pensando que a burrice é uma ciência." -Antonio Aleixo.
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Demuestre que cada punto de un hiperboloide elíptico de una hoja es la intersección de dos líneas que pertenecen completamente a la superficie del hiperboloide.Por ejemplo  \( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}-\displaystyle\frac{z^2}{c^2}=1 \)

Mira aquí: https://fernandorevilla.es/2015/10/21/generatrices-rectilineas-de-un-hiperboloide-de-una-hoja/.

31 Agosto, 2022, 07:52 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Demuestre que cada punto de un hiperboloide elíptico de una hoja es la intersección de dos líneas que pertenecen completamente a la superficie del hiperboloide.

Por ejemplo        \( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}-\displaystyle\frac{z^2}{c^2}=1 \)

Otra forma (creo\( ^{(1)} \)). La ecuación puedes escribirse como:

\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{z^2}{c^2}=1-\displaystyle\frac{y^2}{b^2} \)

\( \left(\displaystyle\frac{x}{a}-\displaystyle\frac{z}{c}\right)\left(\displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{z}{c}\right)=\left(1-\displaystyle\frac{y}{b}\right)\left(1+\displaystyle\frac{y}{b}\right) \)

Se puede forma rectas contenidas en la superficie igualando cada factor de una igualdad con alguno de los otros, y modificando la recta con un múltiplo adecuado.

Una opción (una familia de rectas):

\( \left(\displaystyle\frac{x}{a}-\displaystyle\frac{z}{c}\right)=A\left(1-\displaystyle\frac{y}{b}\right) \)
\( A\left(\displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{z}{c}\right)=\left(1+\displaystyle\frac{y}{b}\right) \)

el valor de \( A \) se escoge para que la recta pase por el punto que queramos de la superficie. Cada recta está dada como intersección de dos planos.

Otra opción (la otra familia de rectas):

\( \left(\displaystyle\frac{x}{a}-\displaystyle\frac{z}{c}\right)=B\left(1+\displaystyle\frac{y}{b}\right) \)
\( B\left(\displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{z}{c}\right)=\left(1-\displaystyle\frac{y}{b}\right) \)

Saludos.

\( ^{(1)} \) Digo "creo" porque he leído en enlace de Fernando muy rápido, muy por encima. No descarto que pudiera estar repitiendo lo allí aportado.

01 Septiembre, 2022, 07:38 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Otra forma (creo\( ^{(1)} \)).

\( ^{(1)} \) Digo "creo" porque he leído en enlace de Fernando muy rápido, muy por encima. No descarto que pudiera estar repitiendo lo allí aportado.

No, no lo estás repitiendo. Si bien el problema del enlace es "bonito", en realidad lo que aportas es más autocontenido y adecuado al enunciado propuesto al no partir de un primer apartado que da directamente dos haces de rectas.


02 Septiembre, 2022, 08:36 pm
Respuesta #4

Albersan

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Gracias Fernando, gracias Luis.

Disculpen la tardanza de mi respuesta.

          La demostración de Fernando aún no la he entendido bien. Sin embargo trataré de hacerlo siguiendo el planteamiento de Luis. He encontrado una demostración en la web, y me gustaría que me ayudaran en algunas cosas.


Sea el hiperboloide:   

\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{z^2}{c^2}=1-\displaystyle\frac{y^2}{b^2} \)                    \( (1) \)


Si se escribe \( (1) \) como el producto de dos ecuaciones:

\( \displaystyle\frac{x}{a}-\displaystyle\frac{z}{c}=A(1-\displaystyle\frac{y}{b}) \)
                                                  \( (2) \)           
\( \displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{z}{c}=\displaystyle\frac{1}{A}(1+\displaystyle\frac{y}{b}) \)


¿Al escribir una ecuación como el producto de otras dos ecuaciones estamos considerando sólo aquellos puntos que satisfacen la primera ecuación (Porque las ecuaciones en \( (2) \) pueden ser satisfechas con otros puntos)?

Más adelante se señala que el conjunto de ecuaciones \( (2) \) forman una línea recta (al ser la intersección de dos planos). ¿Se puede decir que los puntos que satisfacen la recta también satisfacen la ecuación del hiperboloide? (Aquí algo parecido a lo anterior, los puntos que satisfacen \( (2) \) también satisfacen \( (1) \) al ser el producto iguales a ambos lados de la ecuación).

El tema que me tiene confundido es el producto de ecuaciones. Vale decir, ¿se puede escribir una ecuación como el producto de otras dos en un punto, si estas últimas son satisfechas simultáneamente en este punto (y si no)?

Con diferentes valor de \( A \), se pueden obtener distintas rectas en el hiperboloide.


Por el contrario, si \( P_1(x_1,y_1,z_1) \) es cualquier punto de \( (1) \), entonces,

\( \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x_1}{a}-\displaystyle\frac{z_1}{c}}{1-\displaystyle\frac{y_1}{b}}=\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{y_1}{b}}{\displaystyle\frac{x_1}{a}+\displaystyle\frac{z_1}{c}}=A \)

Por lo tanto, \( P_1 \) determina el mismo valor de \( A \) en ambas ecuaciones \( (2) \), y por lo tanto cada punto del hiperboloide se encuentra en una, y sólo una línea  \( (2) \).




Muchas Gracias.

02 Septiembre, 2022, 10:23 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Sea el hiperboloide:   

\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{z^2}{c^2}=1-\displaystyle\frac{y^2}{b^2} \)                    \( (1) \)


Si se escribe \( (1) \) como el producto de dos ecuaciones:

\( \displaystyle\frac{x}{a}-\displaystyle\frac{z}{c}=A(1-\displaystyle\frac{y}{b}) \)
                                                  \( (2) \)           
\( \displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{z}{c}=\displaystyle\frac{1}{A}(1+\displaystyle\frac{y}{b}) \)


¿Al escribir una ecuación como el producto de otras dos ecuaciones estamos considerando sólo aquellos puntos que satisfacen la primera ecuación (Porque las ecuaciones en \( (2) \) pueden ser satisfechas con otros puntos)?

Al revés; cualquier punto que cumpla simultáneamente las dos últimas ecuaciones, automáticamente pertenece al hiperboloide, porque si las multiplicas y divides por \( A \) precisamente obtienes la ecuación de este último.

Citar
Más adelante se señala que el conjunto de ecuaciones \( (2) \) forman una línea recta (al ser la intersección de dos planos). ¿Se puede decir que los puntos que satisfacen la recta también satisfacen la ecuación del hiperboloide? (Aquí algo parecido a lo anterior, los puntos que satisfacen \( (2) \) también satisfacen \( (1) \) al ser el producto iguales a ambos lados de la ecuación).

Si; es lo que he dicho antes.

Citar
El tema que me tiene confundido es el producto de ecuaciones. Vale decir, ¿se puede escribir una ecuación como el producto de otras dos en un punto, si estas últimas son satisfechas simultáneamente en este punto (y si no)?

Es que no es que se escriba una ecuación como producto de dos; es decir no es equivalente la ecuación del hiperboloide a las dos ecuaciones obtenidas. Pero lo que permite esa descomposición es, por el motivo que dijimos antes, justificar que cualquier punto que verifique estas dos últimas verifica la original.

Con diferentes valor de \( A \), se pueden obtener distintas rectas en el hiperboloide.

Citar
Por el contrario, si \( P_1(x_1,y_1,z_1) \) es cualquier punto de \( (1) \), entonces,

\( \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x_1}{a}-\displaystyle\frac{z_1}{c}}{1-\displaystyle\frac{y_1}{b}}=\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{y_1}{b}}{\displaystyle\frac{x_1}{a}+\displaystyle\frac{z_1}{c}}=A \)

Por lo tanto, \( P_1 \) determina el mismo valor de \( A \) en ambas ecuaciones \( (2) \), y por lo tanto cada punto del hiperboloide se encuentra en una, y sólo una línea  \( (2) \).


Si.

Saludos.

04 Septiembre, 2022, 01:00 pm
Respuesta #6

Albersan

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Muchas Gracias Luis,

me ha quedado todo más claro.


Muy agradecido.