Autor Tema: Dudas de ejercicios de tiradas de dados

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30 Agosto, 2022, 07:09 pm
Respuesta #10

feriva

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Te he seguido,lo entiendo claro y veo que es una lógica similar a la que me permitió conseguir los 29 grupos diferentes, de cada uno restringir sus permutaciones similares, y sumar todos, para que de 3431.... Gracias


Gracias a ti por mirarlo.

En otro rato haré las cuentas (no sé cuándo) para ver sin coincide o me he comido algo.

No tiene que ser muy largo porque una vez que se aplica lo mismo para los cincos y los cuatros sólo quedan 1,2,3 y el único caso es 3+3+3+3+3+3.

Intuyo que no será lento, a ver: 5*4>18, entonces, con tres cincos la suma de los otros es 3

1+1+1 y ya no hay más.

Con dos cincos la suma de los otros es 8

2+2+2+2; 3+3+1+1; 4+2+1+1.

Con un cinco la suma de los otros es 13

3+3+3+3+1; 3+3+3+2+2; 4+4+3+1+1; 4+3+3+2+1;

Así iría siendo, pero tendré que mirar más despacio a ver si me dejo alguno.

Saludos.

30 Agosto, 2022, 08:20 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

Hola

Hola, me he encontrado con ejercicios de tiradas de dados y tengo un problema.
Se que la cantidad de resultados de tirar un dado son la cantidad de soluciones enteras positivas de \( x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=1 \)
y para tirar 3 dados \( x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=3 \) etc

Es que eso está mal. Que tengas seis variables significa que tienes SEIS dados; y la igualdad se hace con la suma que quieres obtener.
Pero lo que yo dije fue literalmente lo que colocaste aca:
Otra opción de interpretación sería que:

\( x_1+x_2+\ldots+x_6=n \)

se interpretarse como los distintos resultados (pero no la suma de resultados) que pueden obtenerse al tirar \( n \) dados, entendiendo que un resultado, si por ejemplo se tiran 3 dados, corresponde a:

- obtuve un 3, un 6 y un 5.
- obtuve dos 4s y un 6.
- obtuve tres 1s.

Pero creo que raramente interesa contar eso.

Sigo sin estar seguro si lo entiendes. La segunda interpretación que te he dado NO se aplica al problema que planteabas después, el de sumar con seis dados un múltiplo de \( 18 \), y sin embargo en tu pregunta parecía que eso te chocaba.

Por eso te he insistido en que esa segunda interpretación raramente se usa, porque es para contar diferentes tiradas en un sentido (el que he descrito en los ejemplos) que pocas veces se necesita.

Lo más típico es contar casos en los que \( k \) dados sumen un total de \( n \) puntos. Eso es lo que te he explicado al principio y lo que se aplica al ejercicio que planteas de los múltiplos de \( 18 \).

Citar
En este caso, cada caja no representaría un dado, sino un resultado posible no? porque si no, tirar tres dados seria \( x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \)

Eso serían las formas de, tirando tres dados obtener una puntuación total de tres punto (entendiendo que restringes \( 1\leq x_i\leq 6 \)) que claramente son una.

Citar
En fin, lo que estaba mal era las formas de sumar n con k dados?

¿Lo qué estaba mal dónde? La solución que planteaste es correcta; lo que pasa que parece que no la entendías.

No estoy seguro si te he clarificado el asunto o te lo he oscurecido.

Saludos.

30 Agosto, 2022, 09:06 pm
Respuesta #12

Nub

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Hola

Hola

Hola, me he encontrado con ejercicios de tiradas de dados y tengo un problema.
Se que la cantidad de resultados de tirar un dado son la cantidad de soluciones enteras positivas de \( x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=1 \)
y para tirar 3 dados \( x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=3 \) etc

Es que eso está mal. Que tengas seis variables significa que tienes SEIS dados; y la igualdad se hace con la suma que quieres obtener.
Pero lo que yo dije fue literalmente lo que colocaste aca:
Otra opción de interpretación sería que:

\( x_1+x_2+\ldots+x_6=n \)

se interpretarse como los distintos resultados (pero no la suma de resultados) que pueden obtenerse al tirar \( n \) dados, entendiendo que un resultado, si por ejemplo se tiran 3 dados, corresponde a:

- obtuve un 3, un 6 y un 5.
- obtuve dos 4s y un 6.
- obtuve tres 1s.

Pero creo que raramente interesa contar eso.

Sigo sin estar seguro si lo entiendes. La segunda interpretación que te he dado NO se aplica al problema que planteabas después, el de sumar con seis dados un múltiplo de \( 18 \), y sin embargo en tu pregunta parecía que eso te chocaba.

Por eso te he insistido en que esa segunda interpretación raramente se usa, porque es para contar diferentes tiradas en un sentido (el que he descrito en los ejemplos) que pocas veces se necesita.

Lo más típico es contar casos en los que \( k \) dados sumen un total de \( n \) puntos. Eso es lo que te he explicado al principio y lo que se aplica al ejercicio que planteas de los múltiplos de \( 18 \).

Citar
En este caso, cada caja no representaría un dado, sino un resultado posible no? porque si no, tirar tres dados seria \( x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \)

Eso serían las formas de, tirando tres dados obtener una puntuación total de tres punto (entendiendo que restringes \( 1\leq x_i\leq 6 \)) que claramente son una.

Citar
En fin, lo que estaba mal era las formas de sumar n con k dados?

¿Lo qué estaba mal dónde? La solución que planteaste es correcta; lo que pasa que parece que no la entendías.

No estoy seguro si te he clarificado el asunto o te lo he oscurecido.

Saludos.
Entendí si, solo que yo intentaba llegar desde el problema conocido al desconocido y eran problemas distintos ;). Muchas gracias

01 Septiembre, 2022, 03:06 am
Respuesta #13

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...

Veo que Nub ha resuelto su duda, así que repregunto unos detalles.

Yo he revisado cuentas, y no veo casos faltantes... pero si un error en mi excel
Me gustaría conocer ese método y evitarme 1 horita de cálculo y tipeo.  ;) 


En general el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación:

\( x_1+x_2+\ldots+x_k=n \)

es \( \displaystyle\binom{n+k-1}{n} \)

En nuestro caso:

\( x_1+x_2+\ldots+x_6=18 \)

PERO con \( 1\leq x_i\leq 6 \). Entonces en primer lugar si llamamos \( y_i=x_i-1 \) equivale al número de soluciones de:

\( y_1+y_2+\ldots+y_6=12 \) ahora con \( 0\leq y_i\leq 5 \). Sin la cota superior sería \( \displaystyle\binom{12+6-1}{12} \).

Led descontamos aquellas en las que \( y_1>5 \). Para ello llamamos \( z_1=y_1-6 \) y de nuevo tenemos \( z_1\geq 0 \).




Hasta allí todo bien, perfectamente entendido en base al hilo que me has pasado...y esta entrada

Pero se me escapa lo que sigue, si bien entiendo que llegas al resultado correcto, no pillo la lógica del planteo.
Digamos entiendo que hasta allí planteas que no hay ningún dado que sume 7 o más, ni tampoco que sume menos de 1, como variable x, .

Contamos soluciones de:

\( z_1+y_2+\ldots+y_6=6 \). Son  \( \displaystyle\binom{6+6-1}{6} \). Lo mismo hacemos por cada uno de los seis dados.

No te puedo seguir, todos los dados pueden llegar a sumar 6 , ¿Por que descontar uno y luego multiplicar por 6?,  descontar a todos  haciendo \( 6\cdot6=36 \) es claro que no es buena idea, pero hubiese sido ese mi intento, le he perdido el sentido.


Y finalmente tenemos que sumar (porque lo hemos descontando dos veces) los casos en los que DOS de las variables \( y_i \) superan el cinco. Hay \( \displaystyle\binom{6}{2} \) formas de elegir esas dos variables. Por cada un de ellas solo hay una solución.


Bueno esto tampoco lo veo, quizá entendiendo lo anterior , he mirado la wikipedia por el principio de incluisón-exclusión y la verdad no me ayudó mucho.

Gracias
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

01 Septiembre, 2022, 11:21 am
Respuesta #14

Luis Fuentes

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Hola

Hasta allí todo bien, perfectamente entendido en base al hilo que me has pasado...y esta entrada

Fíjate que hasta aquí hemos contado todas las formas de sumar \( 18 \) con seis números \( \geq 1 \); pero todavía no hemos impuesto la cota de que esos números no puedan superar al seis, porque queremos que sean tiradas de dados.

Es decir hemos contado casos de más; sobran algunos y vamos a restárselos.

Citar
Pero se me escapa lo que sigue, si bien entiendo que llegas al resultado correcto, no pillo la lógica del planteo.
Digamos entiendo que hasta allí planteas que no hay ningún dado que sume 7 o más, ni tampoco que sume menos de 1, como variable x, .

Contamos soluciones de:

\( z_1+y_2+\ldots+y_6=6 \). Son  \( \displaystyle\binom{6+6-1}{6} \). Lo mismo hacemos por cada uno de los seis dados.

¿Qué casos sobran?.

Aquellos en el que el primer número sobrepasó el \( 6 \); aquellos en que el segundo número sobrepasó el \( 6 \); aquellos en los que el tercer número sobrepasó el \( 6 \) y así hasta el sexto número.

¿Cómo contamos los casos en los que el primer número sobrepaso el \( 6 \), es decir?.

\( x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=18 \) con \( 1\leq x_i \) para \( i=1,2,3,4,5,6 \) y \( x_1\geq 7 \).

En primer lugar ya habíamos hecho el cambio de variable \( y_i=x_i-1 \) para buscar soluciones no negativas (incluyendo al cero) que es lo que sabemos hacer con la fórmula general:

\( y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=12 \) con \( 0\leq y_i \) para \( i=1,2,3,4,5,6 \) y \( y_1\geq 6 \).

Pero tenemos el problema con \( y_1 \); para poder usar la fórmula general hacemos el cambio \( z_1=y_1-6 \) y queda:

\( z_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=6 \) con \( 0\leq y_i \) para \( i=2,3,4,5,6 \) y \( 0\leq z_1 \).

¡Ahí podemos aplicar la fórmula general| \( \displaystyle\binom{6+6-1}{6} \). Eso serían las tiradas que suman \( 18 \), los seis números son mayores o iguales que \( 1 \) y LA PRIMERA DE ELLAS supera el \( 6 \) (las demás lo superarán o no).

Pero queremos restar también aquellas en las que es la SEGUNDA tirada supera el \( 6 \), y luego los de la TERCERA.... por eso hacemos ese descuento seis veces:

\( 6\cdot \displaystyle\binom{6+6-1}{6} \)

Citar
[/size]

Y finalmente tenemos que sumar (porque lo hemos descontando dos veces) los casos en los que DOS de las variables \( y_i \) superan el cinco. Hay \( \displaystyle\binom{6}{2} \) formas de elegir esas dos variables. Por cada un de ellas solo hay una solución.


Bueno esto tampoco lo veo, quizá entendiendo lo anterior , he mirado la wikipedia por el principio de incluisón-exclusión y la verdad no me ayudó mucho.

El problema es que hemos descontado los casos en los que la primera tirada superaba al seis, y también los casos en los que la segunda tirada superaba al seis, etcétera... Pero entonces hemos descontado DOS veces los casos en los que al mismo tiempo la primera y segunda tirada superaban el seis. Hay que sumárselo.

Pero si los dos primeros números superan el seis la única posiblidad es \( 7+7+1+1+1+1=18 \). Ahora hay \( \displaystyle\binom{6}{2} \) pares de dados, y por tanto hay sumar ese número de veces esa única posibilidad.

Saludos.

01 Septiembre, 2022, 11:51 am
Respuesta #15

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Perfecto voy a releerlo con detenimiento y relacionarlo con la teoría de unión de conjuntos, para hacer más la idea general.
Gracias por el tiempo dedicado y la paciencia.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)