Autor Tema: Conjuntos, subgrupo

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29 Agosto, 2022, 04:24 pm
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NoelAlmunia

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Por favor, finalmente no comprendo ver que si tengo que H es un subgrupo de G, y \( x \) un elemento de G, entonces \( xHx^1 \) es subgrupo de G.
Saludos ante todo, gracias.
Busco entender para creer pero creo para poder entender.
                                  San Agustín de Hipona.

29 Agosto, 2022, 06:01 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Tienes una errata en el enunciado. Debe de ser \[ xHx^{-1} \]. No sé si eso te ha líado. Tienes que probar estas tres cosas:

1) La operación del grupo es interna en \[ xHx^{-1} \]. Para ello tendrás que utilizar que lo es en \[ H \] porque es subgrupo.

2) El elemento neutro está en \[ xHx^{-1} \]. Para ello utiliza que está en \[ H \] por ser subgrupo.

3) El inverso de \[ xax^{-1}\in{xHx^{-1}} \] está en \[ xHx^{-1} \]. Concretamente es \[ xa^{-1}x^{-1} \].

Es todo bastante directo. Si algo no te sale concreta tus dudas.

Un saludo.

29 Agosto, 2022, 06:05 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Por favor, finalmente no comprendo ver que si tengo que H es un subgrupo de G, y \( x \) un elemento de G, entonces \( xHx^1 \) es subgrupo de G. Saludos ante todo, gracias.

Supongo que has querido decir \( xHx^{-1} \). Dado que el neutro \( e \) satisface \( e=xex^{-1} \) tenemos  \( e\in xHx^{-1} \) con lo cual \( xHx^{-1}\ne \emptyset \).

Por otra parte, dos elementos de \( xHx^{-1} \) seran de la forma \( xh_1x^{-1} \) y \( xh_2x^{-1} \) con \( h_1 \) y \( h_2 \) elementos de \( H \). Entonces,

        \( (xh_1x^{-1})(xh_2x^{-1})^{-1}=xh_1x^{-1}xh_2^{-1}x^{-1}=x(\underbrace{h_1h_2^{-1}}_{\in H})x^{-1}\in xHx^{-1} \)

Hemos usado la caracterización de subgrupos: https://fernandorevilla.es/2014/02/22/subgrupos/ (ejercicio 1).

P.D. Martiniano se adelantó. Mantengo el mensaje por si también puede ayudar.

30 Agosto, 2022, 03:36 pm
Respuesta #3

NoelAlmunia

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Muchas gracias a ambos, naturalmente ese es el error que no logré ver. Gracias.
Busco entender para creer pero creo para poder entender.
                                  San Agustín de Hipona.