Autor Tema: Demostrar la inexistencia de un límite mediante trayectorias de aproximación

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24 Agosto, 2022, 12:33 am
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Chandra

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Tengo que demostrar la inexistencia de un límite mediante el uso de trayectorias. En la teoría que manejamos en el curso, se supone que las trayectorias de aproximación tienen que ser sólo rectas o parábolas. ¿Es posible alguna otra trayectoria cualquiera, siempre y cuando cumpla con el requisito de pasar por el punto en cuestión?
El límite a calcular es el siguiente:
\( \displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{\displaystyle\frac{x^9.y}{(x^6+y^2)^2}} \)
Utilizando las siguientes trayectorias de aproximación, el límite me da 0:
\( y=x \)
\( y=x^2 \)
Pero utilizando la siguiente trayectoria, el límite me dió distinto de 0:
\( y=x^3 \)
El título del ejercicio dice que hay que demostrar que el límite no existe, así que ya lo habría conseguido (de ser correctos mis cálculos). Pero a su vez, utilicé 2 calculadoras gráficas para revisar el resultado y ambas me dicen que el límite existe y es igual a 0.
Mi pregunta sería, por un lado, si el límite existe o no, y por otro, principalmente, si es correcto la utilización de cualquier trayectoria de aproximación, siempre y cuando pase por el punto en cuestión.


24 Agosto, 2022, 12:45 am
Respuesta #1

Masacroso

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Tengo que demostrar la inexistencia de un límite mediante el uso de trayectorias. En la teoría que manejamos en el curso, se supone que las trayectorias de aproximación tienen que ser sólo rectas o parábolas. ¿Es posible alguna otra trayectoria cualquiera, siempre y cuando cumpla con el requisito de pasar por el punto en cuestión?

Sí, cualquier trayectoria vale, siemrpe y cuando finalice en el punto en cuestión. La cuestión es que el límite existe si se cumple para cualquier trayectoria que uno pueda definir.

Citar
El límite a calcular es el siguiente:
\( \displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{\displaystyle\frac{x^9.y}{(x^6+y^2)^2}} \)
Utilizando las siguientes trayectorias de aproximación, el límite me da 0:
\( y=x \)
\( y=x^2 \)
Pero utilizando la siguiente trayectoria, el límite me dió distinto de 0:
\( y=x^3 \)
El título del ejercicio dice que hay que demostrar que el límite no existe, así que ya lo habría conseguido (de ser correctos mis cálculos). Pero a su vez, utilicé 2 calculadoras gráficas para revisar el resultado y ambas me dicen que el límite existe y es igual a 0.
Mi pregunta sería, por un lado, si el límite existe o no, y por otro, principalmente, si es correcto la utilización de cualquier trayectoria de aproximación, siempre y cuando pase por el punto en cuestión.

Efectivamente el límite no existe, como bien has demostrado con las trayectorias que comentas. Las calculadoras y programas de cálculo suelen fallar con todo tipo de límites.

24 Agosto, 2022, 01:50 am
Respuesta #2

Chandra

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24 Agosto, 2022, 03:07 pm
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Efectivamente el límite no existe, como bien has demostrado con las trayectorias que comentas. Las calculadoras y programas de cálculo suelen fallar con todo tipo de límites.

Otro caso:


 ;D

Saludos