Autor Tema: Repartir elementos diferentes en cajas

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20 Agosto, 2022, 08:20 pm
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Nub

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Hola tengo un ejercicio cuya letra es:

Tenemos 6 bolitas rojas y dos bolitas azules
¿De cuantas formas se pueden repartir estas 8 bolitas en 4 cajas de forma que se utilizan todas las cajas y ademas no puede haber bolitas de diferente color en una misma caja?

No puedo plantearlo de forma que crea que va a funcionar, al leerlo me viene a la mente conteo de funciones, principio de inclusión-exclusión o repatir primero las bolitas rojas y luego las azules y usar regla del producto, pero no creo que funcione así por asi, cuando digo principio de inclusión-exclusión es porque pienso que teniendo todas las formas de repatir las 8 bolitas sin importar que queden en la misma caja luego se podrian excluir las que están juntas, pero ese es el problema >:(

20 Agosto, 2022, 11:09 pm
Respuesta #1

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...



Hola si no puedes diferenciar una bola el mismo color de otra el mismo color , según las reglas impuestas solo hay 6 formas de armar los 4 conjuntos, y también 24 formas diferentes de colocar los conjuntos si diferencias las cajas entre si, pero si hay conjuntos que repiten los mismos elementos dentro de la caja, debes dividir la cantidad total por el factorial del numero de cada repetición.


 
\( \begin{vmatrix}caja\,1 &caja\,2 &caja\,3 &caja\,4 & formas\\\color{red}\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\color{black} & \color{red}\bullet\color{black}&\color{blue}\bullet\color{black}&\color{blue}\bullet\color{black}& 24/2!=12\\\color{red}\bullet\bullet\bullet\bullet\color{black} & \color{red}\bullet\bullet\color{black}&\color{blue}\bullet\color{black}&\color{blue}\bullet\color{black}& 24/2!=12\\\color{red}\bullet\bullet\bullet\color{black} & \color{red}\bullet\bullet\bullet\color{black}&\color{blue}\bullet\color{black}&\color{blue}\bullet\color{black}& 24/(2!\cdot2!)=6\\\color{red}\bullet\bullet\bullet\bullet\color{black} & \color{red}\bullet\color{black}&\color{red}\bullet\color{black}&\color{blue}\bullet\bullet\color{black}& 24/2!=12\\\color{red}\bullet\bullet\bullet\color{black} & \color{red}\bullet\bullet\color{black}&\color{red}\bullet\color{black}&\color{blue}\bullet\bullet\color{black}&24/1!=24\\\color{red}\bullet\bullet\color{black} & \color{red}\bullet\bullet\color{black}&\color{red}\bullet\bullet\color{black}&\color{blue}\bullet\bullet\color{black}& 24/(3!)=4\end {vmatrix} \)


En total 70 formas
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

21 Agosto, 2022, 08:00 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola tengo un ejercicio cuya letra es:

Tenemos 6 bolitas rojas y dos bolitas azules
¿De cuantas formas se pueden repartir estas 8 bolitas en 4 cajas de forma que se utilizan todas las cajas y ademas no puede haber bolitas de diferente color en una misma caja?

Otra forma:

- Si las dos bolitas azules están juntas en una caja. Tenemos \( 4 \) opciones para esa caja. Después en cada una de las restantes va una bola azul roja; contamos las formas de distribuir las tres restantes en las tres cajas: son combinaciones con repetición de \( 3 \) elementos tomados de \( 3 \) en \( 3 \):

 \( 4\cdot CR_{3,3}=4\cdot \displaystyle\binom{3+3-1}{3}=40 \).

- Si las dos bolitas azules están en dos cajas. Tenemos \( \displaystyle\binom{4}{2}=6 \) opciones para esas cajas. Después en cada una de las restantes va una bola azul roja; contamos las formas de distribuir las cuatro restantes en las dos cajas: son combinaciones con repetición de \( 2 \) elementos tomados de \( 4 \) en \( 4 \):

 \( 6\cdot CR_{2,4}=6\cdot \displaystyle\binom{2+4-1}{4}=30 \).

 En total: \( 40+30=70 \).

Saludos.

CORREGIDO

21 Agosto, 2022, 09:23 pm
Respuesta #3

Nub

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Hay una forma de realizar esto con Inclusion-Exclusion? (Creo que era la idea)

21 Agosto, 2022, 09:24 pm
Respuesta #4

Nub

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Hola

Hola tengo un ejercicio cuya letra es:

Tenemos 6 bolitas rojas y dos bolitas azules
¿De cuantas formas se pueden repartir estas 8 bolitas en 4 cajas de forma que se utilizan todas las cajas y ademas no puede haber bolitas de diferente color en una misma caja?
Otra forma:

- Si las dos bolitas azules están juntas en una caja. Tenemos \( 4 \) opciones para esa caja. Después en cada una de las restantes va una bola azul; contamos las formas de distribuir las tres restantes en las tres cajas: son combinaciones con repetición de \( 3 \) elementos tomados de \( 3 \) en \( 3 \):

 \( 4\cdot CR_{3,3}=4\cdot \displaystyle\binom{3+3-1}{3}=40 \).

- Si las dos bolitas azules están en dos cajas. Tenemos \( \displaystyle\binom{4}{2}=6 \) opciones para esa caja. Después en cada una de las restantes va una bola azul; contamos las formas de distribuir las cuatro restantes en las dos cajas: son combinaciones con repetición de \( 2 \) elementos tomados de \( 4 \) en \( 4 \):

 \( 6\cdot CR_{2,4}=6\cdot \displaystyle\binom{2+4-1}{4}=30 \).

 En total: \( 40+30=70 \).

Saludos.
Nunca hablaste de las bolas rojas, entendi un 5%  ;D

21 Agosto, 2022, 09:34 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Nunca hablaste de las bolas rojas, entendi un 5%  ;D

Si; tenía una errata. Lo he corregido. Si sigues sin entender, indica la primera cosa concreta que no comprendas.

Hay una forma de realizar esto con Inclusion-Exclusion? (Creo que era la idea)

Pues así a vuelapluma no se me ocurre una forma que no sea complicarse la vida de manera retorcida.

Saludos.

21 Agosto, 2022, 11:54 pm
Respuesta #6

Nub

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Hola

Nunca hablaste de las bolas rojas, entendi un 5%  ;D

Si; tenía una errata. Lo he corregido. Si sigues sin entender, indica la primera cosa concreta que no comprendas.

Hay una forma de realizar esto con Inclusion-Exclusion? (Creo que era la idea)

Pues así a vuelapluma no se me ocurre una forma que no sea complicarse la vida de manera retorcida.

Saludos.
Ahora lo entendí, gracias a todos