Autor Tema: Sobre el \(2\) con distintas operaciones matemáticas

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18 Agosto, 2022, 03:46 am
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manooooh

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Hola!

Quisiera saber si existe una demostración para lo siguiente:

Queremos construir buscar una operación usando el mismo número dos veces y una sola operación. ¿Cuántas formas posibles hay de llegar al mismo resultado, y de qué número se trata? ¿Existen otros casos?

Ese enunciado me lo acabo de inventar para ilustrar lo que quiero decir, es probable que no esté bien escrito.

Pero me refiero a esto: \( 2+2=2^2=2\cdot2=4 \). Parece ser que el \( 2 \) es el único número que con 3 de las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación) produce el mismo resultado (el cuatro).

¿Hay otros casos que supere las 3 operaciones, o el \( 2 \) es el único? Quizás que no involucren estas operaciones básicas. No sé.

Agregado:

Creo que se trata de lo siguiente:

1) Un número que al elevarlo por sí mismo, de por resultado el producto consigo mismo: \( x^x=x\cdot x=x^2 \). Solo \( x=1 \) o \( x=2 \). Pero si \( x=1 \) luego \( 1+1\neq1 \).

2) Un número que al elevarlo por sí mismo, de por resultado la suma consigo mismo: \( x^x=x+x=2x \). Solo el \( x=2 \).

3) Un número que multiplicado por sí mismo, de por resultado la suma consigo mismo: \( x\cdot x=x+x \). Solo el \( x=0 \) o \( x=2 \). Pero \( x=0 \) no funciona para \( 0^0 \).

Como hemos cerrado el ciclo \( x^x=x^2;\;x^2=2x;\;2x=x^x \) y solo funciona para \( x=2 \), no existe ningún otro número (real) con estas características. Claro falta ver para la \( \sqrt{} \)...

Gracias!!
Saludos

Editado

18 Agosto, 2022, 04:11 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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La operación suma en el módulo, depende del cuerpo donde estes, suponiendo si hay divisores del cero y estas cosas.
Spoiler
Módulo \( 8 \):
\( \overline{4} + \overline{4} = \overline{4 + 4} = \overline{8} = \overline{16} = \overline{4 \cdot 4} \)
[cerrar]

18 Agosto, 2022, 06:06 am
Respuesta #2

geómetracat

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También tienes \( 1\cdot 1 = 1^1=1/1=1 \). No me queda muy claro qué consideras como radicación de un número consigo mismo, pero si es raíz \( n \)-ésima de \( n \), \( n^{1/n} \), también tienes \( 1^{1/1}=1 \) y gana al \( 2 \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

18 Agosto, 2022, 06:26 am
Respuesta #3

Pie

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Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

18 Agosto, 2022, 06:27 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola, muchas gracias a todos! :aplauso: :aplauso:

No me había dado cuenta de escribir a la raíz así!! Pensaba en escribir el índice y como no existía una raíz de índice \( 1 \) pues lo pensé a partir de índice \( \geq2 \)...

Entonces con el \( 1 \) son cuatro operaciones distintas con el mismo resultado. ¿Hay algún otro número que le gane? Y si no, ¿se puede demostrar que no existen otros?

Saludos

18 Agosto, 2022, 06:47 am
Respuesta #5

Pie

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Entonces con el \( 1 \) son cuatro operaciones distintas con el mismo resultado. ¿Hay algún otro número que le gane? Y si no, ¿se puede demostrar que no existen otros?

Saludos

Yo diría que no, la mayoría no da lo mismo ni en 2 operaciones distintas (estoy pensando en números enteros, aunque diría que pasa igual con todos los reales). De hecho, quitando los que ya habéis dicho sólo se me ocurre el 0 que tendría 3 tambien: \( 0 + 0 = 0 - 0 = 0*0 \)

Pero vaya, ni idea de cómo demostrar esto. :laugh:

Saludos.

PD. Bueno, se me ocurre que se puede demostrar que ningún número, salvo el 0, puede dar lo mismo al sumarse a si mismo que al restarse a sí mismo. Ya que al restarse tiene que dar siempre 0.  ;D

Supongo que se puede hacer lo mismo con el resto de operaciones y llegar a la conclusión de que el 1 es el que más operaciones con resultados equivalentes permite..

Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

18 Agosto, 2022, 09:03 am
Respuesta #6

geómetracat

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La demostración de que el 1 es el número 1  ;D va en la línea de lo que apunta manooooh en el agregado de su primer mensaje. La cuestión es que dos de estas operaciones coinciden solo para números muy particulares.
Para reales está el problema de que la radicación (entendida como \( x^{1/x} \)) no tiene sentido en general.
Para enteros, es fácil ver que si \( n>2 \) entonces \( n^n>n*n>n+n>n^{1/n}>n/n>n-n \). Por lo tanto, son todos distintos. Y los casos \( 2,1,0 \) ya los hemos analizado a mano.
Si \( x \) es real se puede hacer un análisis parecido. En cualquier caso gana el \( 1 \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

18 Agosto, 2022, 01:26 pm
Respuesta #7

feriva

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Hola, manoooh.

Pues yo haría esto simplemente

\( a+a=a\cdot a=a^{2}
  \).

Si “a” distinto de cero, podemos dividir entre “a”

\( 1+1=a\Rightarrow a=2
  \)

Tiene solución única dejando el cero aparte.

Saludos.