Autor Tema: Analizar una función

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13 Agosto, 2022, 08:18 am
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JesusSaez

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Sea \( f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} \), dada por
\(
f(x,y)=
\begin{cases}
x+y&\text{si }x=0\text{ ó }y=0\\
1 & \text{otro caso}
\end{cases}
 \)
Determine:
a) Los puntos de continuidad.
b)Direcciones en las que existan las derivadas direccionales en el orígen.
c) Puntos de diferenciabilidad y la diferencial en tal caso.

14 Agosto, 2022, 12:31 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Sea \( f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} \), dada por
\(
f(x,y)=
\begin{cases}
x+y&\text{si }x=0\text{ ó }y=0\\
1 & \text{otro caso}
\end{cases}
 \)
Determine:
a) Los puntos de continuidad.

¿Qué has intentado?.

El abierto \( \Bbb R^2-\{ejes\} \) la función es constante luego es continua.

Los puntos conflictivos son sobre los ejes; comprueba que en ese caso sólo es continua en los puntos \( (1,0) \) y \( (0,1) \).

Citar
b)Direcciones en las que existan las derivadas direccionales en el orígen.

Aplica la definción.

Ahora tengo que dejarlo. Intenta seguir y pregunta las dudas.

Saludos.

16 Agosto, 2022, 10:51 am
Respuesta #2

JesusSaez

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Para ver la continuidad en \( \mathbb{R}^2\setminus\{ejes\} \), sería así:
Sea \( (x_0,y_0)\in G=\mathbb{R}^2\setminus\{ejes\} \) y \( \epsilon>0 \), como \( G \) es abierto, existe \( \delta>0 \) tal que \( B_{\delta}(x_0,y_0)\subseteq G \). Así, si \( (x,y)\in\mathbb{R}^2\cap B_{\delta}(x_0,y_0)  \), entonces \( |f(x,y)-f(x_0,y_0)|=0<\epsilon \). De esta manera queda mostrada la continuidad en los puntos que no están sobre los ejes .
Luego, en \( (1,0) \) tenemos que \(
|f(x,y)-f(1,0)|\in\{0, |x-1|,|y-1|\}
 \)
según el punto \( (x,y) \), pero de cualquier manera se cumple que
\( |f(x,y)-f(1,0)|\leq 2||(x-1,y)|| \), por lo que dado cualquier \( \epsilon>0 \), tomando \( \delta=\frac{\epsilon}{2} \) se satisface la definición de continuidad. El caso \( (0,1) \) es completamente análogo. ¿Es correcto?
Ahora, en los puntos sobre los ejes diferentes de los analizados, si tomo \( (x_0,0) \) con \( x_0\neq 1 \), entonces \( f(x_0,0)=x_0\neq 1 \), me gustaría encontrar un \( \epsilon \) particular para el cual sin importar el \( \delta \), haya algún punto \( (x,y) \) que cumpla que \( ||(x-x_0,y)||<\delta \),  pero \( |f(x,y)-f(x_0,0)|\geq\epsilon \), ¿Cómo podría hacerlo?

16 Agosto, 2022, 11:51 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Para ver la continuidad en \( \mathbb{R}^2\setminus\{ejes\} \), sería así:
Sea \( (x_0,y_0)\in G=\mathbb{R}^2\setminus\{ejes\} \) y \( \epsilon>0 \), como \( G \) es abierto, existe \( \delta>0 \) tal que \( B_{\delta}(x_0,y_0)\subseteq G \). Así, si \( (x,y)\in\mathbb{R}^2\cap B_{\delta}(x_0,y_0)  \), entonces \( |f(x,y)-f(x_0,y_0)|=0<\epsilon \). De esta manera queda mostrada la continuidad en los puntos que no están sobre los ejes .
Luego, en \( (1,0) \) tenemos que \(
|f(x,y)-f(1,0)|\in\{0, |x-1|,|y-1|\}
 \)
según el punto \( (x,y) \), pero de cualquier manera se cumple que
\( |f(x,y)-f(1,0)|\leq 2||(x-1,y)|| \), por lo que dado cualquier \( \epsilon>0 \), tomando \( \delta=\frac{\epsilon}{2} \) se satisface la definición de continuidad. El caso \( (0,1) \) es completamente análogo. ¿Es correcto?

Bien.

Citar
Ahora, en los puntos sobre los ejes diferentes de los analizados, si tomo \( (x_0,0) \) con \( x_0\neq 1 \), entonces \( f(x_0,0)=x_0\neq 1 \), me gustaría encontrar un \( \epsilon \) particular para el cual sin importar el \( \delta \), haya algún punto \( (x,y) \) que cumpla que \( ||(x-x_0,y)||<\delta \),  pero \( |f(x,y)-f(x_0,0)|\geq\epsilon \), ¿Cómo podría hacerlo?

Pues ten en cuenta que para cualquier \( y \) no nulo, \( f(x_0,y)=1 \) y por tanto:

\( |f(x_0,y)-f(x_0,0)|=|1-x_0| \)

Por tanto basta que tomes \( \epsilon=|1-x_0|/2 \), por ejemplo.

Saludos.

16 Agosto, 2022, 12:15 pm
Respuesta #4

JesusSaez

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Entonces tomando \( \epsilon=\frac{|1-x_0|}{2} \), se tiene que para cualquier \( \delta>0 \), el punto \( \left(x_0,\frac{\delta}{2}\right)\in\mathbb{R}^2 \) es tal que \( \left\|(x_0,0)-\left(x_0,\frac{\delta}{2}\right)\right\|<\delta \) pero \( \left|f(x_0,0)-f\left(x_0,\frac{\delta}{2}\right)\right|>\epsilon \).
Así se muestra que \( f \) no es continua en los puntos \( (x,0) \) con \( x\neq 1 \). Análogamente se muestra que es discontinua en los puntos \( (0,y) \) tales que \( y\neq 1 \). ¿Es correcto?

Ahora, para analizar la diferenciabilidad quedan descartados los puntos de discontinuidad, de modo que se debe analizar en \( \{(1,0),(0,1)\}\cup\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq 0, y\neq 0\} \), ¿es cierto?

17 Agosto, 2022, 12:36 am
Respuesta #5

delmar

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Hola

Entonces tomando \( \epsilon=\frac{|1-x_0|}{2} \), se tiene que para cualquier \( \delta>0 \), el punto \( \left(x_0,\frac{\delta}{2}\right)\in\mathbb{R}^2 \) es tal que \( \left\|(x_0,0)-\left(x_0,\frac{\delta}{2}\right)\right\|<\delta \) pero \( \left|f(x_0,0)-f\left(x_0,\frac{\delta}{2}\right)\right|>\epsilon \).
Así se muestra que \( f \) no es continua en los puntos \( (x,0) \) con \( x\neq 1 \). Análogamente se muestra que es discontinua en los puntos \( (0,y) \) tales que \( y\neq 1 \). ¿Es correcto?

Ahora, para analizar la diferenciabilidad quedan descartados los puntos de discontinuidad, de modo que se debe analizar en \( \{(1,0),(0,1)\}\cup\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq 0, y\neq 0\} \), ¿es cierto?

Sí es correcto

Pero antes de contestar el tercer apartado, hay que contestar b)

Saludos

17 Agosto, 2022, 10:37 am
Respuesta #6

JesusSaez

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b) Para las derivadas direccionales, tomemos un vector no nulo \( u=(u_1,u_2) \) y apliquemos la definición de derivada direccional:
\(
\begin{array}{rcl}
D_{\overrightarrow{u}}(0,0)&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}{\frac{f((0,0)+h(u_1,u_2))-f(0,0)}{h}}\\
&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}{\frac{f(hu_1,hu_2)-0}{h}}\\
&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}{\frac{f(hu_1,hu_2)}{h}}(*)\\
\end{array}
 \)
Caso 1:  Si \( u_1\neq 0, u_2\neq 0 \), entonces:
\(
\begin{array}{rcl}
(*)&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}{\frac{1}{h}}
\end{array}
 \)
Pero este límite no existe, por lo que se concluye que la derivada direccional en dirección de los vectores con ambas componentes no nulas, NO EXISTE.
Caso 2: Si \( u_1\neq 0, u_2=0 \), entonces:
\(
\begin{array}{rcl}
(*)&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}{\frac{hu_1}{h}}=u_1
\end{array}
 \)
Caso 3: Si \( u_1=0, u_2\neq 0 \), entonces:
\(
\begin{array}{rcl}
(*)&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}{\frac{hu_2}{h}}=u_2
\end{array}
 \)
Por lo que
\(
\begin{array}{rcl}
D_{\overrightarrow{u}}(0,0)&=&
\begin{cases}
u_1&\text{si}& u_1\neq 0, u_2=0\\
u_2 & \text{si}& u_1=0, u_2\neq 0
\end{cases}
\end{array}
 \)
¿Es correcto?

17 Agosto, 2022, 10:44 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

b) Para las derivadas direccionales, tomemos un vector no nulo \( u=(u_1,u_2) \) y apliquemos la definición de derivada direccional:
\(
\begin{array}{rcl}
D_{\overrightarrow{u}}(0,0)&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}{\frac{f((0,0)+h(u_1,u_2))-f(0,0)}{h}}\\
&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}{\frac{f(hu_1,hu_2)-0}{h}}\\
&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}{\frac{f(hu_1,hu_2)}{h}}(*)\\
\end{array}
 \)
Caso 1:  Si \( u_1\neq 0, u_2\neq 0 \), entonces:
\(
\begin{array}{rcl}
(*)&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}{\frac{1}{h}}
\end{array}
 \)
Pero este límite no existe, por lo que se concluye que la derivada direccional en dirección de los vectores con ambas componentes no nulas, NO EXISTE.
Caso 2: Si \( u_1\neq 0, u_2=0 \), entonces:
\(
\begin{array}{rcl}
(*)&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}{\frac{hu_1}{h}}=u_1
\end{array}
 \)
Caso 3: Si \( u_1=0, u_2\neq 0 \), entonces:
\(
\begin{array}{rcl}
(*)&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}{\frac{hu_2}{h}}=u_2
\end{array}
 \)
Por lo que
\(
\begin{array}{rcl}
D_{\overrightarrow{u}}(0,0)&=&
\begin{cases}
u_1&\text{si}& u_1\neq 0, u_2=0\\
u_2 & \text{si}& u_1=0, u_2\neq 0
\end{cases}
\end{array}
 \)
¿Es correcto?

Si. Está bien.

Saludos.