Autor Tema: Problema de camisetas

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12 Agosto, 2022, 07:42 pm
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DarthLuis

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Saludos, tengo un problema que no acabo de resolver:

Supongamos que tenemos \(  n  \) personas, \(  m  \) de ellas con camiseta amarilla, una con camiseta negra, y \(  n-m-1  \) con camiseta blanca.

¿De cuántas formas podemos ordenar (permutar) a esas \(  n  \) personas, de forma que delante de la persona de camiseta negra haya \(  p  \) (\(  <m  \)) personas de camiseta amarilla (las de camiseta blanca no cuentan)?

Para el caso el caso en que \(  p=m  \) sí que he conseguido la solución y es \(  \displaystyle\frac{n!}{m+1}  \), creo que la solución debería ser la misma para la pregunta que hago.

Gracias.


12 Agosto, 2022, 11:28 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Bienvenido al foro.

Supongamos que tenemos \(  n  \) personas, \(  m  \) de ellas con camiseta amarilla, una con camiseta negra, y \(  n-m-1  \) con camiseta blanca.

¿De cuántas formas podemos ordenar (permutar) a esas \(  n  \) personas, de forma que delante de la persona de camiseta negra haya \(  p  \) (\(  <m  \)) personas de camiseta amarilla (las de camiseta blanca no cuentan)?

Para el caso el caso en que \(  p=m  \) sí que he conseguido la solución y es \(  \displaystyle\frac{n!}{m+1}  \), creo que la solución debería ser la misma para la pregunta que hago.

 La camiseta negra puede colocarse en cualquier posición excepto las \( p \) primeras (ya que en ese caso, no habría hueco para que antes hubiese \( p \) amarillas). Sea \( k \) con \( p+1\leq k\leq n \) la posición donde se ubica.

  En las \( k-1 \) primeras posiciones colocaremos \( p \) camisetas amarillas; las posibilidades para las posiciones donde estarán son \( \displaystyle\binom{k-1}{p} \); y lo análogo para colocar las \( m-p \) amarillas entre las \( n-k \) últimas posiciones después de la negra: \( \displaystyle\binom{n-k}{m-p} \)

 Una vez decidido la posición de amarilla, negra y blancas; contamos las formas de permutar a gente con camiseta amarilla y blanca en esas posiciones prefijadas \( m!(n-m-1)! \).

 En resumen el conteo final será:

\( m!(n-m-1)!\displaystyle\sum_{k=p+1}^n{}\displaystyle\binom{k-1}{p}\displaystyle\binom{n-k}{m-p} \)

Saludos.


13 Agosto, 2022, 12:17 am
Respuesta #2

DarthLuis

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Saludos, gracias por la bienvenida, la verdad estoy alucinando con el contenido y la rapidez.

En cuanto a tu respuesta, muchas gracias, yo me he quedado en una fórmula equivalente, aunque la cuestión que me corroe la mente, es que conjeturo que esa fórmula es equivalente a \(  \displaystyle\frac{n!}{m+1}  \) es decir, que la \(  p  \) se puede simplificar de esa suma. Me he peleado con el sumatorio de números combinatorios, pero no consigo simplificarlo, en el caso de \(  p=m  \) es sencillo, pero para \(  p<m  \) la cosa se complica.

Seguiré intentándolo, seguramente jugando un poco con los factoriales salga, pero si estás, o alguien está familiarizado con estos sumatorios, quizás lo veáis antes que yo. Gracias. Luis.

13 Agosto, 2022, 01:04 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Vale. Es mucho más sencillo.

 Contamos las formas de elegir en que posiciones de las \( n \) totales irán las \( n-m-1 \) camisetas blancas.

 Son: \( \displaystyle\binom{n}{n-m-1} \).

 Fijadas estás en las restantes en la posición número \( p+1 \) necesariamente irá la persona de camiseta negra.

 Ahora fijadas las posiciones donde irán blancos, negros y amarillos, resta multiplicar por las formas de permutar en ellas los primeros y los terceros:

\( \displaystyle\binom{n}{n-m-1}\cdot m!\cdot (n-m-1)!=\dfrac{n!}{(n-m-1)!(m+1)!}\cdot m!\cdot (n-m-1)!=\dfrac{n!}{m+1} \).

 Efectivamente el valor de \( p \) no influye.

Saludos.

13 Agosto, 2022, 02:15 am
Respuesta #4

DarthLuis

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Saludos de nuevo, gracias por tu respuesta, la verdad encaja perfecto, la clave estaba en cambiar el enfoque y pensar en posiciones. Me ha venido a la cabeza ese "truco mental" de combinatoria que usaba cuando era más joven, jeje. Ahora todo encaja y se simplifica todo bastante. Mil gracias, te debo una.