Autor Tema: Problema combinatoria

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03 Agosto, 2022, 11:31 pm
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Pie

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Buenas. Dejo un problema que no sé muy bien como encarar (no sé mucho de combinatoria).

De cuántas formas se pueden sumar 3 números naturales y que el resultado dé 180. Con la condición de que ningún número sea igual o mayor a 90? (no importa el orden)

PD. Aclaro que no es un ejercicio que me haya encontrado por ahi, sino una duda que me surgió al pensar sobre los ángulos (enteros) de algunos triángulos jeje

Saludos.
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

04 Agosto, 2022, 12:10 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Buenas. Dejo un problema que no sé muy bien como encarar (no sé mucho de combinatoria).

De cuántas formas se pueden sumar 3 números naturales y que el resultado dé 180. Con la condición de que ningún número sea igual o mayor a 90? (no importa el orden)

PD. Aclaro que no es un ejercicio que me haya encontrado por ahi, sino una duda que me surgió al pensar sobre los ángulos (enteros) de algunos triángulos jeje

Saludos.

Si llamas \( a\geq b\geq c \) a los tres ángulos, tienes:

- El más grande varía en \( 60\leq a\leq 89 \).
- Fijado el más grande, el siguiente verifica: \( (180-a)/2\leq b\leq a \).
- El tercer ángulo necesariamente es \( c=180-a-b \).

En particular para el segundo ángulo:

- Si \( a \) es par, entonces hay \( a-(180-a)/2+1=3a/2-89 \) valores posibles para \( b \).
- Si \( a \) es impar, entonces hay \( a-(181-a)/2+1=(3a-1)/2-89 \) valores posibles para \( b \).

O dicho de otra manera si consideramos siempre que hay \( 3a/2-89 \) valores para \( b \), estamos contando \( k/2 \) posibilidades de más, donde \( k \) es el número posible de valores impares de \( a \).

De ahí el número de triángulos buscado es:

\( \displaystyle\sum_{a=60}^{89}(3a/2-89)-15/2=675 \)

Saludos.

04 Agosto, 2022, 02:45 am
Respuesta #2

Pie

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Ok. Gracias Luis! Buena solución. :D
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