Autor Tema: Existencia de límite

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02 Agosto, 2022, 11:32 pm
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Rania

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Hola quería consultar por el siguiente ejercicio de analizar la existencia de límite:

\(  \lim\limits_{(x,y) \to (2,3)} \displaystyle\frac{ln (y-2) (3x-6)^2}{(e^x) (y-3)^2 + (x-2)^2 }   \)

Por limites iterados llegué a que si el límite existe debe vale cero. Por lo tanto, decidí usar la definición de límite para demostrar que el límite para esa función en (2,3) es cero. Pero estoy teniendo problemas para resolverlo, tratando de acotar  y llegar al delta y épsilon. ¿Podrían ayudarme? gracias desde ya.

03 Agosto, 2022, 12:09 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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\( |\ln(y-2) \cdot (3x-6)^2| = |\ln(1+(y-3))| \cdot 9 \cdot (x-2)^2 \leq |\ln(1+(y-3))| \cdot 9 \cdot [e^x \cdot (y-\color{red}3\color{black})^2 + (x-2)^2]  \). 

03 Agosto, 2022, 07:40 am
Respuesta #2

Rania

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\( |\ln(y-2) \cdot (3x-6)^2| = |\ln(1+(y-3))| \cdot 9 \cdot (x-2)^2 \leq |\ln(1+(y-3))| \cdot 9 \cdot [e^x \cdot (y-2)^2 + (x-2)^2]  \). 

Hola Juan Pablo, vi la pista que me diste, me aclaró un poco más, pero no se me está ocurriendo como seguirlo : llegué a algo así pero creo que no está bien encaminado

\(  \displaystyle\frac{|ln (1 + (y-3)) 9 (x-2)^2|}{|e^x (y-3)^2 + (x-2)^2|}\leq{|ln (1+(y-3))|.9}  \)



03 Agosto, 2022, 08:01 am
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Está bien encaminado
Se tiene que para una variable:
\( \displaystyle \lim_{u \to 0} \dfrac{\ln(1+u)}{u} = 1  \).