Autor Tema: Calcular volumen de un toro

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31 Julio, 2022, 09:36 am
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Atatoin

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Calcule mediante una integral triple y el uso de coordenadas cilíndricas el volumen de un sólido de revolución obtenido al girar en torno al eje OX la región limitada por la circunferencia \( x^2 + (y-8)^2=4 \).
Muchas gracias si pudieren resolverlo y explicármelo se lo agradecería mucho un saludo.

Moderación: corregido título y \( \LaTeX \).

31 Julio, 2022, 04:26 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Calcule mediante una integral triple y el uso de coordenadas cilíndricas el volumen de un sólido de revolución obtenido al girar en torno al eje OX la región limitada por la circunferencia \( x^2 + (y-8)^2=4 \).
Muchas gracias si pudieren resolverlo y explicármelo se lo agradecería mucho un saludo.

Moderación: corregido título y \( \LaTeX \).

En el foro hay bastantes temas de cálculo de volumen, puedes encontrarlos utilizando la búsqueda y poniendo cosas como "volumen" o "volumen de revolución". Igualmente te resuelvo en parte el ejercicio, que te veo bastante perdido.

Primero debes intentar saber qué tipo de figura es, en este caso a esta figura de revolución se le denomina toro, que tiene la forma de un donut. Entonces, en vez de utilizar el sistema de coordenadas cilíndrico típico dado por

\( \displaystyle{
(x,y,z)=(\rho \cos \alpha ,\rho \operatorname{sen}\alpha ,z)
} \)

te conviene utilizar éste otro, también cilíndrico:

\( \displaystyle{
(x,y,z)=(x,\rho \cos \alpha ,\rho \operatorname{sen}\alpha )
} \)

Entonces la integral a plantear sería

\( \displaystyle{
\int_{V}dx\,dy\,dz=\int_{V}\rho\,d x \,d \rho \,d \alpha =\int_{0}^{2\pi}\int_{-2}^{2}\int_{r_1(x)}^{r_2(x)}\rho\,d \rho\,d x \,d \alpha
} \)

donde \( r_1(x) \) y \( r_2(x) \) son los radios de los círculos concéntricos que definen cada anillo dado por \( [V ]_x:=V\cap (\{x\}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}) \). Haz un dibujo para verlo mejor y ver cómo varían esos radios dependiendo del valor de \( x \) para terminar.

Corregido.

31 Julio, 2022, 06:08 pm
Respuesta #2

Atatoin

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Muchísimas gracias por tu tiempo, te lo agradezco muchísimo 😚😌.

Mira lo he realizado usando los radios \( 10 \) y \( 6 \) y me sale \( 32\pi^2 \), que era los radios que he entendido yo que habría que usar; pero tengo la solución del ejercicio que es \( 64\pi^2 \), supongo que con esa integral triple se calcula la mitad volumen, ¿no?; y como es simétrica respecto el plano \( xy \) y el eje \( z \) habría que multiplicar por 2 dicho volumen, si pudieras resolverme esa duda te lo agradecería aún más 😁 .

Un saludo y muchas gracias de nuevo .

01 Agosto, 2022, 12:53 am
Respuesta #3

Masacroso

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Muchísimas gracias por tu tiempo, te lo agradezco muchísimo 😚😌.
Mira lo he realizado usando los radios 10 y 6 y me sale 32pi^2   , que era los radios q he entendido yo que habría que usar ,pero tengo la solución del ejercicio que es 64 pi^2, supongo que con esa integral triple se calcula la mitad volumen no?y como es simétrica respecto el plano xy y el eje z habría q multiplicar por 2 dicho volumen, si pudieras resolverme esa duda te lo agradecería aún más 😁 . Un saludo y muchas gracias de nuevo .

Como te dije en mi anterior mensaje los radios son variables ya que dependen de cada valor que tome \( x \), no tiene sentido en este caso utilizar radios constantes. Mira, a ver si lo ves mejor así: supongamos que cortamos el donut en lonchas muy finas en dirección del eje de las \( X \), entonces una capa cortada tiene la forma del siguiente anillo de color marrón:



A cada uno de estos anillos yo los denominé \( [ V ]_x \). En la imagen las flechas de color negro indican los valores de \( r_1(x) \) y de \( r_2(x) \), observa que dependiendo del valor de \( x \) la superficie marrón será diferente y por tanto los valores de \( r_1(x) \) y de \( r_2(x) \) serán distintos. Con un poco de trigonometría, sabiendo que es un donut lo que estás cortando, tienes que hallar las funciones \( x\mapsto r_1(x) \) y \( x\mapsto r_2(x) \), una vez hecho eso las insertas en la integral y ya sólo te queda calcular.

Espero que ahora te haya quedado más claro lo que tienes que hacer.

02 Agosto, 2022, 11:32 am
Respuesta #4

Atatoin

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No lo saco 😅, es para ayudar a mi hija y yo llevo mucho tiempo sin ver mates , te rogaría q si pudieras decirme los límites de la tercera integral te lo agradecería muchísimo y así podría conseguir entenderlo mejor para poder explicárselo de la mejor forma posible.un saludo y gracias de nuevo.

02 Agosto, 2022, 06:11 pm
Respuesta #5

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Hola , espero no equivocarme, ya comentaran

pero creo que por simetría respecto al eje y, puedes escribir

\( \displaystyle{ \int_{V}dx\,dy\,dz=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}2\int_{8-\sqrt{4-x^2}}^{8+\sqrt{4-x^2}}\rho\,d \rho\,d x \,d \alpha } \)

Saludos
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

02 Agosto, 2022, 11:33 pm
Respuesta #6

Atatoin

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 :aplauso: :aplauso: :aplauso:perfecto picha sale clavado y ya lo tengo claro como hacerlo todo muchas gracias a todos por vuestra ayuda .