Autor Tema: Derivación bajo el signo de integral

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07 Agosto, 2022, 10:48 pm
Respuesta #10

Masacroso

  • “Lo que oigo, lo olvido; lo que veo, lo recuerdo; lo que hago, lo aprendo” (antiguo proverbio chino)
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Pero no es "para cada \( (y,t) \)", es decir, no se trata de una cota diferente para cada \( (y,t) \) sino de la misma cota. Basta con decir que \( |\frac{\partial^2}{\partial x^2}f|\leqslant M \) en \( [x_0,x]\times [a,b] \).
Aquí lo de \( (y,t)\in [x_0,x]\times [a,b] \) solo lo puse para cuantificar sobre todos los valores del rectángulo, pero me refería a la misma cota en el mismo, no una por cada pareja \( (x,t) \).

Sí, lo imaginaba, pero la expresión que utilizaste me pareció confusa. Ahora leyéndola de nuevo no me lo parece tanto, quizá sea cosa mía.

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No está del todo bien, ya que la cota de \( M \) anterior es para un valor \( x \) fijo elegido a priori por lo tanto no puedes ahora decir que \( |x−x_0|<\delta \). Lo que sí puedes decir es que para todo \( y\in[x_0,x] \) si \( |x_0−y|<\frac{2\epsilon}{M(b-a)} \) entonces \( |\frac{g(y)-g(x)}{y-x_0}-\int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)|<\epsilon \)
De hecho es el conflicto que siempre me ha causado este ejercicio, porque hay una demostración parecida que está en la mayor parte de la bibliografía, que es conocida como la Regla de Leibintz,  pero siempre la variable de la que no depende la integral en la hipótesis la definen en un intervalo cerrado \( J \), y así no hay problema porque al hacer el producto cartesiano \( J\times[a,b] \) se tiene un conjunto compacto y por tanto funcionan todos los teoremas fuertes de continuidad como de continuidad uniforme, acotación, etc.
El problema en este ejercicio es que la función se define en todo \( \mathbb{R}^2 \) y debemos mostrar la derivabilidad en todo \( \mathbb{R} \).

La derivabilidad es una propiedad puntual, por tanto es suficiente considerar el problema localmente, es decir, en un entorno compacto de cada punto.

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Ahora, no se que tan válido sea al tomar un real fijo \( x_0 \), elegir un intervalo compacto \( I \) que contenga a \( x_0 \) y así, \( I\times[a,b] \) es compacto y por tanto ahí funcionan todos los teoremas fuertes de continuidad uniforme, acotación y demás.
Yo diría que si se puede elegir tal intervalo, porque si \( x_0=0 \), claramente \( [-1,1] \) es un intervalo compacto que contiene a \( x_0=0 \). Ahora, si \( x_0\neq 0 \), por propiedades de los números reales tenemos que \( -|x_0|\leq x_0\leq |x_0| \), de donde se concluye que \( [-|x_0|,|x_0|] \) es un intervalo compacto que contiene a \( x_0 \). O bien, sabemos que un conjunto con un solo punto es compacto, por lo que lo podemos inscribir en un intervalo \( [-r,r] \), para algún \( r>0 \).
Solo que no sé como plantear formalmente mi idea, lo que me causa conflicto es que para la derivabilidad, el \( x \) que se toma para hacer el límite como tal es arbitrario y a priori no sabemos si está cercano a \( x_0 \) o nó.
¿Cómo podría aterrizar mi idea?

Lo que te decía antes: si quieres considerar la derivabilidad en \( x_0 \) es suficiente con tomar un entorno compacto de \( x_0 \), por ejemplo \( [x_0-h,x_0+h] \) para algún \( h>0 \). Eso es debido a que a la hora de calcular un límite de una función en un punto sólo necesitas tener en cuenta cómo se comporta la función en un entorno arbitrariamente pequeño de ese punto.

07 Agosto, 2022, 10:59 pm
Respuesta #11

Masacroso

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Tengo que añadir una cosa, que no expliqué con claridad en mi segunda respuesta (la cual he editado ahora añadiendo una pequeña explicación) y es que la condición de que \( \frac{\partial^2}{\partial x^2}f \) es continua puede sustituirse por la condición más débil en la que \( \frac{\partial}{\partial x}f \) es continua. Es decir, cuando decía que "no hace falta" me refería a que se puede cambiar por una condición más débil.

08 Agosto, 2022, 12:13 am
Respuesta #12

JesusSaez

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Tengo que añadir una cosa, que no expliqué con claridad en mi segunda respuesta (la cual he editado ahora añadiendo una pequeña explicación) y es que la condición de que \( \frac{\partial^2}{\partial x^2}f \) es continua puede sustituirse por la condición más débil en la que \( \frac{\partial}{\partial x}f \) es continua. Es decir, cuando decía que "no hace falta" me refería a que se puede cambiar por una condición más débil.
Si, de hecho con la continuidad de la \( f \) y \( \frac{\partial f}{\partial x} \) se cumple el resultado, usando la continuidad uniforme. Siento que aquí la ventaja de la segunda parcial es que nos dá margen a usar teoremas más sofisticados, por ejemplo usar el desarrollo de Taylor.

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Lo que te decía antes: si quieres considerar la derivabilidad en \( x_0 \) es suficiente con tomar un entorno compacto de \( x_0 \), por ejemplo \( [x_0−h,x_0+h] \) para algún \( h>0 \). Eso es debido a que a la hora de calcular un límite de una función en un punto sólo necesitas tener en cuenta cómo se comporta la función en un entorno arbitrariamente pequeño de ese punto.
Entonces quedaría así:
Sea \( x_0\in\mathbb{R} \). Consideremos un entorno compacto de \( x_0 \), \( I=[x_0-r,x_0+r] \) con \( r>0 \) suficientemente pequeño, lo cual es posible hacer. Ahora, debido a la continuidad de la segunda derivada parcial, tenemos que para cada \( (x,t)\in K=I\times [a,b] \), se tiene:
\(
f(x,t)=f(x_0,t)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)(x-x_0)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(c(x),t)(x-x_0)^2  (\ast)
 \)
donde \( c(x)\in (x_0,x) \), suponiendo sin pérdida de generalidad que \( x_0<x \).
Ahora bien, como \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \) es continua en \( K \) que es compacto, entonces es acotada, por lo que existe \( M>0 \) tal que para cada \( (y,t)\in K \), \( \left|\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(y,t)\right|\leq M \).
Despejando de \( (\ast) \), tenemos que
\(
\frac{f(x,t)-f(x_0,t)}{x-x_0}-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)=\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(c(x),t)(x-x_0).
 \)
Por cosiguiente:
\(
\left|\frac{f(x,t)-f(x_0,t)}{x-x_0}-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t) \right|\leq\frac{M}{2}|x-x_0|
 \)
para cada \( (x,t)\in K \).
Luego, para \( x\in I\setminus\{x_0\} \), se tiene lo siguiente:
\(
\left|\frac{\int_a^bf(x,t)dt-\int_a^bf(x_0,t)dt}{x-x_0}-\int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)dt\right|=\left|\int_a^b\frac{1}{2}\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}(c(x),t)(x-x_0)dt\right|\leq\frac{M(b-a)}{2}|x-x_0|.
 \)
Por lo tanto, dado \( \epsilon>0 \), si tomamos \( \delta=\frac{2\epsilon}{M(b-a)}>0 \) se tiene que:
\(
x\in I\hspace{0.25cm} \wedge\hspace{0.25cm}0<|x-x_0|<\delta\Longrightarrow\left|\frac{\int_a^bf(x,t)dt-\int_a^bf(x_0,t)dt}{x-x_0}-\int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t) \right|<\epsilon
 \)
de ahí se tiene el resultado y dado que \( x_0 \) es cualquiera, la afirmación se cumple en todo \( \mathbb{R} \).

¿Es correcto?

08 Agosto, 2022, 12:37 am
Respuesta #13

Masacroso

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Tengo que añadir una cosa, que no expliqué con claridad en mi segunda respuesta (la cual he editado ahora añadiendo una pequeña explicación) y es que la condición de que \( \frac{\partial^2}{\partial x^2}f \) es continua puede sustituirse por la condición más débil en la que \( \frac{\partial}{\partial x}f \) es continua. Es decir, cuando decía que "no hace falta" me refería a que se puede cambiar por una condición más débil.
Si, de hecho con la continuidad de la \( f \) y \( \frac{\partial f}{\partial x} \) se cumple el resultado, usando la continuidad uniforme. Siento que aquí la ventaja de la segunda parcial es que nos dá margen a usar teoremas más sofisticados, por ejemplo usar el desarrollo de Taylor.

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Lo que te decía antes: si quieres considerar la derivabilidad en \( x_0 \) es suficiente con tomar un entorno compacto de \( x_0 \), por ejemplo \( [x_0−h,x_0+h] \) para algún \( h>0 \). Eso es debido a que a la hora de calcular un límite de una función en un punto sólo necesitas tener en cuenta cómo se comporta la función en un entorno arbitrariamente pequeño de ese punto.
Entonces quedaría así:
Sea \( x_0\in\mathbb{R} \). Consideremos un entorno compacto de \( x_0 \), \( I=[x_0-r,x_0+r] \) con \( r>0 \) suficientemente pequeño, lo cual es posible hacer. Ahora, debido a la continuidad de la segunda derivada parcial, tenemos que para cada \( (x,t)\in K=I\times [a,b] \), se tiene:
\(
f(x,t)=f(x_0,t)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)(x-x_0)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(c(x),t)(x-x_0)^2  (\ast)
 \)
donde \( c(x)\in (x_0,x) \), suponiendo sin pérdida de generalidad que \( x_0<x \).
Ahora bien, como \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \) es continua en \( K \) que es compacto, entonces es acotada, por lo que existe \( M>0 \) tal que para cada \( (y,t)\in K \), \( \left|\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(y,t)\right|\leq M \).
Despejando de \( (\ast) \), tenemos que
\(
\frac{f(x,t)-f(x_0,t)}{x-x_0}-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)=\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(c(x),t)(x-x_0).
 \)
Por cosiguiente:
\(
\left|\frac{f(x,t)-f(x_0,t)}{x-x_0}-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t) \right|\leq\frac{M}{2}|x-x_0|
 \)
para cada \( (x,t)\in K \) tal que \( x\neq x_0 \).
Luego, para \( x\in I\setminus\{x_0\} \), se tiene lo siguiente:
\(
\left|\frac{\int_a^bf(x,t)dt-\int_a^bf(x_0,t)dt}{x-x_0}-\int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)dt\right|=\left|\int_a^b\frac{1}{2}\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}(c(x),t)(x-x_0)dt\right|\leq\frac{M(b-a)}{2}|x-x_0|.
 \)
Por lo tanto, dado \( \epsilon>0 \), si tomamos \( \delta=\frac{2\epsilon}{M(b-a)}>0 \) se tiene que:
\(
x\in I\hspace{0.25cm} \wedge\hspace{0.25cm}0<|x-x_0|<\delta\Longrightarrow\left|\frac{\int_a^bf(x,t)dt-\int_a^bf(x_0,t)dt}{x-x_0}-\int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t) \right|<\epsilon
 \)
de ahí se tiene el resultado y dado que \( x_0 \) es cualquiera, la afirmación se cumple en todo \( \mathbb{R} \).

¿Es correcto?

Todo correcto, excepto que habría que añadir lo marcado en rojo.

08 Agosto, 2022, 01:01 am
Respuesta #14

JesusSaez

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