Autor Tema: Oposiciones Galicia 2022 A3

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20 Junio, 2022, 12:55 pm
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Luis Fuentes

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Dado un subconjunto acotado \( A\subset \Bbb R \), se define el diámetro del conjunto \( A \) como:

\( d(A):=sup\{|x-y||\color{red}x,y\color{black}\in A\} \)

Se considera la siguiente función derivable:

\( f:\Bbb R\to \Bbb R| \exists M>0 \) con \( |f'(x)|\leq M \)     \( \forall x\in \Bbb R \)

a) Probar que dado \( r>0 \), si \( A \) es tal que \( d(A)\leq \dfrac{r}{M} \) entonces \( d(f(A))\leq r \).

b) Sea \( S\subset \Bbb R \) acotado y supongamos que \( M<1 \).

    Calcular \( \displaystyle\lim_{n \to \infty}{} d(f^n(S)) \) donde \( f^n(S)=\{(f\circ\stackrel{n}{\ldots}\circ f)(x)|x\in S\}. \).

CORREGIDO

20 Junio, 2022, 01:43 pm
Respuesta #1

Farifutbol

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Hay una errata en lo que has puesto, es:

\( d(A):=sup\{|x-y||x,y\in A\} \)

20 Junio, 2022, 05:08 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Dado un subconjunto acotado \( A\subset \Bbb R \), se define el diámetro del conjunto \( A \) como:

\( d(A):=sup\{|x-y||\color{red}x,y\color{black}\in A\} \)

Se considera la siguiente función derivable:

\( f:\Bbb R\to \Bbb R| \exists M>0 \) con \( |f'(x)|\leq M \)     \( \forall x\in \Bbb R \)

a) Probar que dado \( r>0 \), si \( A \) es tal que \( d(A)\leq \dfrac{r}{M} \) entonces \( d(f(A))\leq r \).

Por el Teorema del Valor Medio, dados \( x<y\in A \) se tiene que:

\( f(x)-f(y)=f'(c)(x-y) \) para algún \( c\in (x,y) \)

Por tanto:

\( |f(x)-f(y)|=|f'(c)||x-y|\leq M\cdot d(A) \)

Por tanto para todo \( f(x),f(y)\in f(A) \) se tiene que \( |f(x)-f(y)|\leq Md(A) \) y así \( d(f(A))\leq Md(A)\leq M\cdot \dfrac{r}{M}=r \).

Citar
b) Sea \( S\subset \Bbb R \) acotado y supongamos que \( M<1 \).

    Calcular \( \displaystyle\lim_{n \to \infty}{} d(f^n(S)) \) donde \( f^n(S)=\{(f\circ\stackrel{n}{\ldots}\circ f)(x)|x\in S\}. \).

Se tiene que si \( K \) es acotado si y sólo si su diámetro es finito y un razonamiento como el del apartado anterior \( d(f(K))\leq Md(K) \). De ahí es inmediato (se puede detallar con argumento inductivo) que:

\( 0\leq d(f^n(S))\leq M^nd(S) \)

y así:

\( 0\leq \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}d(f^n(S))\leq \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}M^nd(S)=0 \) (porque \( M<1 \))

y por tanto \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}d(f^n(S))=0 \).

Saludos.