Hola
Buenas, quisiera por favor me ayuden con este ejercicio:
Para cada numero real \( x \neq 0 \) , definimos \( B(x) \), como la colección de todos los intervalos abiertos centrados en \( x \) mientras que los elementos de \( B(0) \), serán los conjuntos de la forma \( (\infty, -n)\cup(-\epsilon,\epsilon)\cup(n,\infty) \) donde \( n \in N \) y \( \epsilon > 0 \). Demuestre que estas colecciones satisfacen las hipótesis de un sistema fundamental de vecindades.
¿Qué has intentado?
Para que sea un sistema fundamental de vecindades, para cada punto \( x \) tiene que cumplirse:
i) \( B(x) \) es no vacío.
ii) Los conjuntos de \( B(x) \) contienen al punto \( x \).
iii) Dados \( U,V\in B(x) \) existe \( W\in B(x) \) tal que \( W\subset U\cap V. \)
iv) Para todo \( U\in B(x) \) existe un \( V\in B(x) \) tal que para todo \( y\in V \), existe \( W\in B(y) \) tal que \( W\subset U \).
Con la familia que te proponen i) ii) son inmediatos.
Si \( x\neq 0 \), para iii) basta tomar como \( W \) el entorno más pequeño entre \( U \) y \( V \). Para (iv) basta tomar \( V=U \).
Si \( x=0 \), para iii) dados \( U=(\infty, -n)\cup(-\epsilon,\epsilon)\cup(n,\infty) \) y \( V=(\infty, -n')\cup(-\epsilon',\epsilon')\cup(n',\infty) \) basta tomar \( W=(\infty, -n'')\cup(-\epsilon'',\epsilon'')\cup(n'',\infty) \), con \( \epsilon''=min(\epsilon,\epsilon') \) y \( n''=max(n,n') \).
Para iv) comprueba que se puede tomar \( V=U \).
Completa los detalles y pregunta las dudas que te surjan.
Saludos.
