Autor Tema: Problema de conteo, repartir elementos

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

16 Mayo, 2022, 07:59 pm
Leído 259 veces

Nub

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 344
  • País: 00
  • Karma: +0/-0
Juan quiere guardar 10 libros diferentes en 7 estantes vacíos diferentes y quiere que al menos 5 de ellos posean un libro. ¿De cuántas maneras puede realizarse esta tarea?.

(a) \( Sob(10,7)+Sob(10,6)\binom{7}{6}+Sob(10,5)\binom{7}{5} \)

(b) \( CR_5^7 \)

(c) \( CR_7^5 \)

(d) \( S(10,7)+S(10,6)\binom{7}{6}+S(10,5)\binom{7}{5} \)

(e) \( Sob(10,7)+Sob(10,6)+Sob(10,5) \)

Hola, he intentado hacer este ejercicio, y a simple vista la respuesta correcta seria la B) que el resultado seria 462 ¿Es correcto? las otras opciones no tengo idea para que sirven. Gracias
 
Mensaje corregido desde la administración.

Por favor no uses imágenes para sustituir a la escritura del texto.

20 Mayo, 2022, 11:41 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 52,435
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

Juan quiere guardar 10 libros diferentes en 7 estantes vacíos diferentes y quiere que al menos 5 de ellos posean un libro. ¿De cuántas maneras puede realizarse esta tarea?.

(a) \( Sob(10,7)+Sob(10,6)\binom{7}{6}+Sob(10,5)\binom{7}{5} \)

(b) \( CR_5^7 \)

(c) \( CR_7^5 \)

(d) \( S(10,7)+S(10,6)\binom{7}{6}+S(10,5)\binom{7}{5} \)

(e) \( Sob(10,7)+Sob(10,6)+Sob(10,5) \)

Hola, he intentado hacer este ejercicio, y a simple vista la respuesta correcta seria la B) que el resultado seria 462 ¿Es correcto? las otras opciones no tengo idea para que sirven. Gracias

No, no es correcto.

La respuesta correcta es la (a).

\( Sob(n,r) \) es el número de aplicaciones sobreyectivas de un conjunto de \( n \) elementos en uno de \( k \) elementos.

\( Sob(n,r)=\displaystyle\sum_{i=0}^r{}(-1)^r\binom{r}{i}(r-i)^n \)

Una distribución de los 10 libros que llene las SIETE estanterías corresponde a una aplicación sobreyectiva del conjunto de 10 libros en el conjunto de 7 estanterías, que lleva cada libro a la estantería donde ha sido colocado.

Una distribución de los 10 libros que llene sólo SEIS estanterías corresponde a una aplicación sobreyectiva del conjunto de 10 libros en el conjunto de 7 estanterías, que lleva cada libro a la estantería donde ha sido colocado. Además hay \( \displaystyle\binom{7}{6} \) formas de elegir las seis estanterías ocupadas.

Una distribución de los 10 libros que llene sólo CINCO estanterías corresponde a una aplicación sobreyectiva del conjunto de 10 libros en el conjunto de 7 estanterías, que lleva cada libro a la estantería donde ha sido colocado. Además hay \( \displaystyle\binom{7}{5} \) formas de elegir  las cinco estanterías ocupadas.

Eso justifica esta fórmula:

\( Sob(10,7)+Sob(10,6)\binom{7}{6}+Sob(10,5)\binom{7}{5}=251846280 \)

Saludos.

20 Mayo, 2022, 09:07 pm
Respuesta #2

Nub

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 344
  • País: 00
  • Karma: +0/-0
Hola

Juan quiere guardar 10 libros diferentes en 7 estantes vacíos diferentes y quiere que al menos 5 de ellos posean un libro. ¿De cuántas maneras puede realizarse esta tarea?.

(a) \( Sob(10,7)+Sob(10,6)\binom{7}{6}+Sob(10,5)\binom{7}{5} \)

(b) \( CR_5^7 \)

(c) \( CR_7^5 \)

(d) \( S(10,7)+S(10,6)\binom{7}{6}+S(10,5)\binom{7}{5} \)

(e) \( Sob(10,7)+Sob(10,6)+Sob(10,5) \)

Hola, he intentado hacer este ejercicio, y a simple vista la respuesta correcta seria la B) que el resultado seria 462 ¿Es correcto? las otras opciones no tengo idea para que sirven. Gracias

No, no es correcto.

La respuesta correcta es la (a).

\( Sob(n,r) \) es el número de aplicaciones sobreyectivas de un conjunto de \( n \) elementos en uno de \( k \) elementos.

\( Sob(n,r)=\displaystyle\sum_{i=0}^r{}(-1)^r\binom{r}{i}(r-i)^n \)

Una distribución de los 10 libros que llene las SIETE estanterías corresponde a una aplicación sobreyectiva del conjunto de 10 libros en el conjunto de 7 estanterías, que lleva cada libro a la estantería donde ha sido colocado.

Una distribución de los 10 libros que llene sólo SEIS estanterías corresponde a una aplicación sobreyectiva del conjunto de 10 libros en el conjunto de 7 estanterías, que lleva cada libro a la estantería donde ha sido colocado. Además hay \( \displaystyle\binom{7}{6} \) formas de elegir las seis estanterías ocupadas.

Una distribución de los 10 libros que llene sólo CINCO estanterías corresponde a una aplicación sobreyectiva del conjunto de 10 libros en el conjunto de 7 estanterías, que lleva cada libro a la estantería donde ha sido colocado. Además hay \( \displaystyle\binom{7}{5} \) formas de elegir  las cinco estanterías ocupadas.

Eso justifica esta fórmula:

\( Sob(10,7)+Sob(10,6)\binom{7}{6}+Sob(10,5)\binom{7}{5}=251846280 \)

Saludos.
Gracias, y en el caso de que los libros fueran iguales ¿estaría bien mi respuesta? o en que caso lo seria

25 Mayo, 2022, 11:35 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 52,435
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

Gracias, y en el caso de que los libros fueran iguales ¿estaría bien mi respuesta? o en que caso lo seria

Si hubiera cinco libros indistinguibles y siete estantes distintos donde ponerlos, las posibles formas de distribuirlos (pudiendo quedar estantes vacíos serían combinaciones con repetición de siete elementos tomados de cinco en cinco:

\( CR_{7,5}=\displaystyle\binom{7+5-1}{5}=\displaystyle\binom{11}{5}=462 \)

Saludos.

25 Mayo, 2022, 06:52 pm
Respuesta #4

Nub

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 344
  • País: 00
  • Karma: +0/-0
Hola

Gracias, y en el caso de que los libros fueran iguales ¿estaría bien mi respuesta? o en que caso lo seria

Si hubiera cinco libros indistinguibles y siete estantes distintos donde ponerlos, las posibles formas de distribuirlos (pudiendo quedar estantes vacíos serían combinaciones con repetición de siete elementos tomados de cinco en cinco:

\( CR_{7,5}=\displaystyle\binom{7+5-1}{5}=\displaystyle\binom{11}{5}=462 \)

Saludos.
¡Gracias! lo había estando pensando de ese modo por eso estaba equivocado