Hola,
Estoy leyendo unos apuntes, y se enuncia la siguiente proposición.
Dado un sistema diferencial ordinario lineal homogéneo \( y'=A(t)y \) (1). Si \( F\in{}C^1(I;\mathcal{L}(\mathbb{R}^N)) \) , \( F'(t)=A(t)F(t),\,\forall{t\in{I}} \) y existe \( t_0\in{I} \) tal que \( det F(t_0)\neq 0 \) entonces F es matriz fundamental de (1).
La demostración dice:
En efecto, en la situación considerada, las columnas de F constituyen N soluciones de (1), que denotaremos \( \phi^1, . . . , \phi^N \). Si una combinación lineal \( \alpha_1\phi^1+...+\alpha_N\phi^N \)se anulara en un punto \( t_1\in{}I \), entonces \( \alpha_1\phi^1+...+\alpha_N\phi^N \) sería solución del problema de Cauchy
\( PC=\begin{cases}y'=A(t)y\\y(t_1)=0\end{cases} \)
de donde tendríamos \( \alpha_1\phi^1+...+\alpha_N\phi^N\equiv{}0 \).
Después concluye, pero mi duda es ¿Por qué \( \alpha_1\phi^1+...+\alpha_N\phi^N \) ha de ser la función nula como consecuencia de ser solución de PC? ¿Es por la unicidad de solución del PC?
Un saludo.
